电磁场与电磁波（10）——电容与部分电容

目录

1.电容

2.部分电容

3.部分电容特征

3.1所有的电位系数都为正

3.2自有电位系数大于互有电位系数

3.3[α]是对称矩阵

3.4与带电量无关

4.感应系数

4.1自由感应系数都为正、互有感应系数都为负

4.2[β]为对称矩阵

4.3严格对角占优

4.4与带电量无关

5.计算

6.部分电容性质

7.静电屏蔽原理

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1.电容

静电场中有两个导体，当两个导体之间加上电压U，一个导体带上正电Q，另一个导体一定是负电Q，且Q/U成正比。那么，将这个比值定义为电容C

C若为定值，就要求导体之间的介质ε不随电场的变化而变化

如果有多个导体，电容的定义？

2.部分电容

 有(n+1)个导体构成的静电系统，满足： 

系统的电力线从自身导体出发，到自身导体终止，就叫静电独立系统。

如果第n+1个导体的电量是0，那么前n个导体是独立的。（第n+1个导体的电量是受约束）

现如果已知q0,q1,q2,…qk,…qn，求φk

取0号为电位的参考点，φ0=0

（1）假设只有1号导体带电，电荷量为单位电荷，其余导体总电荷为0（其余电荷有电力线进去，有电力线出来，但总的电荷量为0）

记1号导体自身产生的电位是α11

1号导体对2号导体产生的电位是α21

1号导体对k号导体产生的电位是αk1

1号导体对n号导体产生的电位是αn1

（电磁场中的表示法：第一个下标数表示受作用点，第二个下标数表示施加作用点）

（2）对2号导体作上述同样假设

2号导体对1号导体产生的电位是α12

2号导体对自身产生的电位是α22

2号导体对k号导体产生的电位是αk2

2号导体对n号导体产生的电位是αn2

（3）假定介质是线性介质（符合叠加原理）

意义：这些电荷共同存在时，在每一个导体上引起的电位与他们各自单独存在时，在每一个导体上所引起的电位的相加和是相等的

（4）当1号导体带电量为q1

        当2号导体带电量为q2

     当n号导体带电量为qn时

 即

其中，αii称为自有电位系数，αij称为互有电位系数

3.部分电容特征

3.1所有的电位系数都为正

先考虑自由电位系数

当q1>0时，因为2号进入电力线等于出去电力线，所以电力线走向为1-2-0：

因为0号电位为0，所以1号电位>0

当q1<0时，电力线走向为0-2-1

因为0号电位为0，所以1号电位<0

综上，q1和φ1同号，即电位系数始终为正

对于互有电位系数：

 q2>0时，1号进入电力线等于出去电力线，电力线走向为2-1-0

 

此时电力线从1指向0，所以φ1>0

q2<0时，电力线走向为0-1-2

此时电力线从0指向1，所以φ1<0

综上，q2和φ1同号，即电位系数始终为正

3.2自有电位系数大于互有电位系数

计算α11时，电路积分为1-2-0

计算α12时，电路积分为1-0

3.3[α]是对称矩阵

αij=αji

根据电路中的互易定理，激励和源的位置互换后，电路效果不变

3.4与带电量无关

静电系统中，如果填充的是线性介质，电位系数矩阵中的所有元素只取决于这个导体的几何形状、大小、位置等，与带电量无关

4.感应系数

假如知道每一个导体的电位，求qk

 

那么[β]=[α]-1称为感应系数矩阵

4.1自由感应系数都为正、互有感应系数都为负

自由感应系数：

以0号为参考点，且φ2=φ3=…=φn=0，相当于整个系统分为了两部分，1号和1号以外

那么除1号外，其余电位都和参考点一样，都是0。对于1号来说，q1和φ1同号，即自由感应系数大于0。

互有感应系数：

 

此时依然是两导体系统：

φ2>0时，另外一个系统<0，即q1<0

φ2<0时，另外一个系统>0，即q1>0

即互有感应系数小于0

4.2[β]为对称矩阵

βij=βji

4.3严格对角占优

根据电荷守恒定律：n个导体以及地面的电荷和为0，所以n-1个导体电荷总和绝对值必定不大于第n个导体的电荷量。

4.4与带电量无关

感应系数仅取决于导体的材料、尺寸、位置、介质，与导体的电荷量无关

5.计算

已知任意两个导体之间的电压,求qk

第一步：

第二步：

 第三步：

第四步：

取

取

 第五步：

同理可得qk

（相当于把1号导体的电荷量分为了n份，上式反映了1号和0号、2号、……n号导体之间的关系）

6.部分电容性质

（1）C=Q/U反映了两导体之间的关系

将C10、C12、……、C1n称为部分电容

（2）部分电容不仅取决于自身的性质，还受其他导体存在的影响

C10称为自由部分电容

C12、C13、……、C1n称为互有部分电容

（3）所有部分电容大于0

C=-β，β为互有感应系数，且β<0，那么C>0

（4）因为

 即

其中

上/下三角元素的个数表示导体系统里部分电容的个数n(n+1)/2

意义：静电场问题转换成电容网络矩阵计算求解。

现求解相对0号导体的电位：

（1）通过静电场的经典方法计算

（2）假如知道导体之间的部分电容，用网络矩阵可以快速求解电位

7.静电屏蔽原理

 

现有接地导体球壳0，以及两导体1和2

（1）根据电容网络矩阵可知

 

（2）上式对任意电荷量的q1和q2恒成立

那么取q1=0，即U10=0，可得C12U12=0

如果q2不等于0，那么U12不等于0，而C12U12=0，所以C12=0

（因为电容网络对任意电荷量的q1和q2恒成立，所以即使q1不等于0，C12也为0）

（3）因为C12=C21

所以

 

即1号导体所带的电荷只取决于1号和0号(大地)之间的电压

2号导体所带的电荷只取决于2号和0号之间的电压，与1、2号之间的电压毫无关系，这就起到了静电屏蔽的作用。（金属球壳的存在，使得1号导体和2号导体没有影响）