电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容

目录

1.电容

2.部分电容

3.部分电容特征

3.1所有的电位系数都为正

3.2自有电位系数大于互有电位系数

3.3[α]是对称矩阵

3.4与带电量无关

4.感应系数

4.1自由感应系数都为正、互有感应系数都为负

4.2[β]为对称矩阵

4.3严格对角占优

4.4与带电量无关

5.计算

6.部分电容性质

7.静电屏蔽原理


1.电容

电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第1张图片

静电场中有两个导体,当两个导体之间加上电压U,一个导体带上正电Q,另一个导体一定是负电Q,且Q/U成正比。那么,将这个比值定义为电容C

C若为定值,就要求导体之间的介质ε不随电场的变化而变化

如果有多个导体,电容的定义?

电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第2张图片

2.部分电容

电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第3张图片

 有(n+1)个导体构成的静电系统,满足: 

电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第4张图片

系统的电力线从自身导体出发,到自身导体终止,就叫静电独立系统。

如果第n+1个导体的电量是0,那么前n个导体是独立的。(第n+1个导体的电量是受约束)

现如果已知q0,q1,q2,…qk,…qn,求φk

取0号为电位的参考点,φ0=0

(1)假设只有1号导体带电,电荷量为单位电荷,其余导体总电荷为0(其余电荷有电力线进去,有电力线出来,但总的电荷量为0)

记1号导体自身产生的电位是α11

1号导体对2号导体产生的电位是α21

1号导体对k号导体产生的电位是αk1

1号导体对n号导体产生的电位是αn1

(电磁场中的表示法:第一个下标数表示受作用点,第二个下标数表示施加作用点)

(2)对2号导体作上述同样假设

2号导体对1号导体产生的电位是α12

2号导体对自身产生的电位是α22

2号导体对k号导体产生的电位是αk2

2号导体对n号导体产生的电位是αn2

(3)假定介质是线性介质(符合叠加原理)

意义:这些电荷共同存在时,在每一个导体上引起的电位与他们各自单独存在时,在每一个导体上所引起的电位的相加和是相等的

(4)当1号导体带电量为q1

        当2号导体带电量为q2

     当n号导体带电量为qn时

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 即

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其中,αii称为自有电位系数,αij称为互有电位系数

3.部分电容特征

3.1所有的电位系数都为正

先考虑自由电位系数

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当q1>0时,因为2号进入电力线等于出去电力线,所以电力线走向为1-2-0:

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因为0号电位为0,所以1号电位>0

当q1<0时,电力线走向为0-2-1

电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第9张图片

因为0号电位为0,所以1号电位<0

综上,q1和φ1同号,即电位系数始终为正

对于互有电位系数:

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 q2>0时,1号进入电力线等于出去电力线,电力线走向为2-1-0

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此时电力线从1指向0,所以φ1>0

q2<0时,电力线走向为0-1-2

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此时电力线从0指向1,所以φ1<0

综上,q2和φ1同号,即电位系数始终为正

3.2自有电位系数大于互有电位系数

计算α11时,电路积分为1-2-0

计算α12时,电路积分为1-0

3.3[α]是对称矩阵

αij=αji

根据电路中的互易定理,激励和源的位置互换后,电路效果不变

3.4与带电量无关

静电系统中,如果填充的是线性介质,电位系数矩阵中的所有元素只取决于这个导体的几何形状、大小、位置等,与带电量无关

4.感应系数

假如知道每一个导体的电位,求qk

 电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第13张图片

那么[β]=[α]-1称为感应系数矩阵

4.1自由感应系数都为正、互有感应系数都为负

自由感应系数:

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以0号为参考点,且φ2=φ3=…=φn=0,相当于整个系统分为了两部分,1号和1号以外

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那么除1号外,其余电位都和参考点一样,都是0。对于1号来说,q1和φ1同号,即自由感应系数大于0。

互有感应系数:

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此时依然是两导体系统:

电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第17张图片

φ2>0时,另外一个系统<0,即q1<0

φ2<0时,另外一个系统>0,即q1>0

即互有感应系数小于0

4.2[β]为对称矩阵

βij=βji

4.3严格对角占优

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根据电荷守恒定律:n个导体以及地面的电荷和为0,所以n-1个导体电荷总和绝对值必定不大于第n个导体的电荷量。

4.4与带电量无关

感应系数仅取决于导体的材料、尺寸、位置、介质,与导体的电荷量无关

5.计算

已知任意两个导体之间的电压,求qk

第一步:

第二步:

 第三步:

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第四步:

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电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第21张图片

 第五步:

同理可得qk

(相当于把1号导体的电荷量分为了n份,上式反映了1号和0号、2号、……n号导体之间的关系)

6.部分电容性质

(1)C=Q/U反映了两导体之间的关系

将C10、C12、……、C1n称为部分电容

(2)部分电容不仅取决于自身的性质,还受其他导体存在的影响

C10称为自由部分电容

C12、C13、……、C1n称为互有部分电容

(3)所有部分电容大于0

C=-β,β为互有感应系数,且β<0,那么C>0

(4)因为

 即

其中

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上/下三角元素的个数表示导体系统里部分电容的个数n(n+1)/2

意义:静电场问题转换成电容网络矩阵计算求解。

电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第23张图片

现求解相对0号导体的电位:

(1)通过静电场的经典方法计算

(2)假如知道导体之间的部分电容,用网络矩阵可以快速求解电位

7.静电屏蔽原理

 电磁场与电磁波(10)——电容与部分电容_第24张图片

现有接地导体球壳0,以及两导体1和2

(1)根据电容网络矩阵可知

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(2)上式对任意电荷量的q1和q2恒成立

那么取q1=0,即U10=0,可得C12U12=0

如果q2不等于0,那么U12不等于0,而C12U12=0,所以C12=0

(因为电容网络对任意电荷量的q1和q2恒成立,所以即使q1不等于0,C12也为0)

(3)因为C12=C21

所以

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即1号导体所带的电荷只取决于1号和0号(大地)之间的电压

2号导体所带的电荷只取决于2号和0号之间的电压,与1、2号之间的电压毫无关系,这就起到了静电屏蔽的作用。(金属球壳的存在,使得1号导体和2号导体没有影响)

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