偏微分方程的基本概念

一、基本概念

偏微分方程：我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程称为偏微分方程。方程中出现的位置函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称其为非线性偏微分方程。特别的，在非线性偏微分方程中，关于未知数的所有最高阶偏导数都是线性的偏微分方程称为拟线性偏微分方程。在拟线性偏微分方程中，由最高阶偏导数组成的部分叫做主部。如果主部的系数都是常数或是自变量的已知函数的偏微分方程称为半线性偏微分方程。而既不是线性也不是拟线性的偏微分方程称为非线性偏微分方程。

1、泛定方程、定解条件和定解问题。

初始条件和边界条件称为定解条件，没有给出定解条件的偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解条件和泛定方程总是同时给出。定解条件与泛定方程作为一个整体，被称为定解问题。若定解条件为初始条件，则称该问题为初值问题或柯西问题。若定解条件为边界条件，则称该问题的边值问题。若定解条件中既有边值条件又有初值条件，则称定解问题为初边值问题或混合问题。一个定解问题，满足下列三个条件则称为适定的：

（1）存在性

定解问题至少存在一个解

（2）唯一性

定解问题至多只有一个解

（3）稳定性

当定解条件在某种意义下做微小变动时，相应的定解问题的解也只做微小变动。

2、三种边界条件

微分方程求解中的边界条件有三类基本形式：第一类边界条件（狄里克雷边界条件）、第二类边界条件（诺依曼边界条件）、第三类边界条件（鲁宾边界条件）。

狄利克雷(Dirichlet)边界条件也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求解这样的方程的解的问题被称为第一类边值问题或狄利克雷问题。

诺依曼(Neumann)边界条件，也即第二类边界条件，指定微分方程的解在边界处沿法线方向的导数或偏导数。求解这样的方程的解的问题被称为第二类边值问题或诺依曼问题。

如果边界条件既包含第一类也包含第二类，则称为第三类边界条件，这样的问题被称为第三类边值问题或鲁宾(Robin)边界条件。

3、几个重要的偏微分方程

（1）弦振动方程（双曲线偏微分方程）

弦振动方程在18世纪首次由达朗贝尔 (d’Alembert)等学者提出,是偏微分方程的典型代表,也是最典型的双曲方程——波动方程,弦振动方程的提出对研究波的传播以及弹性体的振动具有重要作用。(一维形式）

（2）热传导方程（抛物线型偏微分方程）

热传导方程（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

（三维形式）

（3）拉普拉斯方程（椭圆型方程）

齐次的即为Laplace方程，非齐次的即为Poisson方程。