SAS时间序列分析案例--有季节效应的非平稳序列分析

前言：前一篇介绍了对平稳时间序列的分析方法和流程，在没有考虑季节效应的情况下，模型建立的并不成功。本篇以美国1980年-2015年月度失业率为对象，进行一个更为完善的、有季节效应的非平稳时间序列分析流程。
理论支持：
拿到非平稳时间序列，首先进行的就是差分法消除趋势性，然后根据情况判断拟合季节加法模型或乘法模型，最后进行模型检验。常用的模型有两种：ARIMA和因素分解模型。

1. ARIMA(加、乘法)模型，本篇分析采用。
2. 因素分解模型：序列收三个因素影响：长期趋势，季节效应，随机波动。剔除前两者后留下随机波动。使用方法为简单中心移动平均法提取趋势效应，加法乘法提取季节效应。数学运算涉及较多，步骤繁琐，此处不多赘述。

步骤：
一． 数据录入，做出时序图

data unem;
input rate@@;
time=intnx('month','01jan1980'd, _n_ -1);
format time monyy.;
cards;
…………
;
run;
proc gplot data=unem;
plot rate*time/ vaxis=2 to 13 by 0.5;
symbol v=none c=red i=join;
run;

初步观察发现，序列有明显的趋势性和周期性。
二． 对原序列进行1阶12步差分，做出差分后时序图并进行ADF、白噪声检验

data unem;
input rate@@;
difrate=dif12(dif(rate));
time=intnx('month','01jan1980'd, _n_ -1);
format time monyy.;
cards;
………
proc gplot;
plot rate*time difrate*time;
symbol v=none c=red i=join;
proc arima data=unem;
identify var=difrate stationarity=(adf);
run;

由ADF和白噪声检验得知，差分后的序列为平稳非白噪声序列。
三． 模型定阶，选择加法还是乘法模型
通常来说，加法模型适用于序列的季节效应，趋势效应和随机波动彼此之间很容易分开。但实践中更常见的情况是，序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间存在复杂的交互影响关系，简单的加法模型不足以充分提取相关关系，此时应当使用乘法模型。

此例中，自相关图显示延迟12阶自相关系数显著大于二倍标准差，说明差分后的序列具有显著的季节效应，此外延迟2、3、5阶也大于二倍标准差，意味着差分后序列还具有短期相关性。在通过加法模型无法充分提取的情况下，我们尝试使用乘法模型，构造原理如下：

1. 用低阶ARMA(p,q)模型提取序列短期相关性。
2. 当序列有季节效应，季节效应本身又具有相关性的时候，用以周期步长为单位的ARMA(P,Q)S 提取季节相关性。
3. 拟合模型实际上为ARMA(p,q)和ARMA(P,Q)S的乘积，记为ARMA(p,d,q) * ARMA(P,D,Q)S

定阶分析过程：
首先观察1阶12步差分后系列12阶以内的自相关系数和偏自相关系数的特征，以确定短期相关模型。自相关图和偏自相关图显示12阶以内均不截尾，考虑使用ARMA(1,1)模型提取短期自相关信息。
再考虑季节相关性，检查延迟12阶、24阶等以周期长度（12）为单位的自相关系数和偏自相关系数的特征。自相关图12阶自相关系数显著，但是24阶系数在二倍标准差范围之内。而偏自相关图显示12阶和24阶都显著，且12阶到24阶之间没有超出二倍标准差范围。因而可以认为季节自相关特征是自相关系数截尾、偏自相关系数拖尾。此时用以12步为周期的ARMA(0,1)12模型提取季节自相关信息。
综上，最终要拟合的乘法模型为ARIMA(1,1,1)*(0,1,1)12。

四． 参数估计
模型定阶之后，参数估计就简单很多了。

/*注释：乘法模型常见格式为ARIMA(p,1,q)*(m,1,n)s, sas拟合命令为：
identify var=x(1,s); 
estimate p=(p)(ms)q=(q)(ns)
第一句命令要求系统进行一阶s步差分，这里我们前面差分过了因此不用写。
第二局命令要求系统对差分后序列拟合非季节效应模型ARMA(p,q)与季节效应模型ARMA(m,n)s。合并起来就完成了乘法模型的拟合。*/
estimate p=(1) q=(1)(12) noint;
run;

五． 模型检验

1. 可以发现参数显著性检验通过
   
2. 残差自相关检验中，P值在小于等于延迟24阶时都不大于5%显著性水平，因而不能认为残差序列已经是白噪声序列，即该模型拟合不显著，结合下面残差相关性检验结果进行分析原因。
   

六、问题原因及处理：
传统的纯随机性检验都是借助LB检验统计量进行的，而LB检验统计量是在序列满足方差齐性的假定下构造的。当序列存在异方差属性时，LB统计量不在近似服从卡方分布。所以在条件异方差存在的场合，白噪声检验结果不再准确。通常现象就是残差序列的相关系数很小，近似白噪声序列，但是LB检验结果P值很小。因此，在异方差可能存在的场合，如果自相关系数很小（<0.2），则可以认为残差序列近似为白噪声序列。
残差自回归性检验和异方差性检验：
使用model语句，让系统建立序列关于时间的线性回归模型，检验残差序列5阶延迟的自相关性并输出DW检验的p值，同时对残差序列进行异方差检验:

proc autoreg data=unem;
model difrate=time/nlag=5 dwprob archtest; 
run;

DW检验结果，R方很小，模型不显著，证明残差序列不具有显著的自相关性，这与我们之前分析的结果相同（相关系数<0.2，残差序列可以认为是白噪声）。

参数估计也表明回归模型不显著，因而总结为残差序列不具有自相关性

异方差性(ARCH)检验：

图中Q统计量和LM统计量的P值均小于0.05显著性水平，因而可以认定该序列方差非齐。
剩下的步骤为构建GARCH或ARCH模型以及检验，最后预测，内容较多，放在下一篇讨论。