c++ 三次多项式拟合_[Python] 二维曲线拟合 ( 含有笔记、代码、注释 )

多项式拟合一次函数

import 

运行结果：

100

p 

coeff 

运行结果：

[4.00355516 1.55927961]

p 

# 还可以用 poly1d 生成一个以传入的 coeff 为参数的多项式函数：

多项式拟合正弦函数

x 

最小二乘拟合

from 

运行结果：

[]

X 

运行结果：

array([[0.05050505, 1. ],
[0.1010101 , 1. ],
[0.15151515, 1. ],
[0.2020202 , 1. ]])

C

运行结果：

sum squared residual = 12.986
rank of the X matrix = 2
singular values of X = [30.23732043 4.82146667]

线性回归拟合

from 

运行结果：

(0.5028457518511993, 0.024071946424871093)

p 

运行结果：

R-value = 0.912
p-value (probability there is no correlation) = 1.254e-39
Root mean squared error of the fit = 0.151

更高级的拟合

from 

from 

# 定义误差函数，将要优化的参数放在前面：

运行结果：

[3.32130888 1.89218577 1.28617493 0.68515905]
1

# 更高级的做法：不需要定义误差函数，直接传入function作为参数。

运行结果：

[3.32130886 1.89218577 1.28617493 0.68515906]
[[ 0.13806975 -0.04121882 0.01507384 -0.04721358]
[-0.04121882 0.01262612 -0.00431895 0.01352772]
[ 0.01507384 -0.00431895 0.00224488 -0.00703102]
[-0.04721358 0.01352772 -0.00703102 0.02227572]]

p 

print

运行结果：

normalized relative errors for each parameter
a b f phi
[0.11187679 0.05938424 0.03683802 0.21783342]

附录01：matplotlib库

① Matplotlib库 是 Python 的绘图库。

② 它常与 NumPy 一起使用。

附录02：matplotlib.pyplot库

① matplotlib的pyplot子库提供了绘图API，方便用户快速绘制2D图表。

② matplotlib.pyplot是函数的集合，每一个函数都对图像作了修改，比如其中有创建图形，在图像上创建画图区域，在画图区域上画线，在线上标注等。

附录03：np.polyfit()函数

① polyfit()函数是多项式拟合函数，polyfit(x, noise_y, 1)表示拟合一阶多项式，即线性拟合函数。

② 即拟合出一阶多项式 y=a1x+a0，返回两个系数 [a1,a0]。

附录04：np.poly1d()函数

① np.poly1d()函数有两个入口参数。

② 若没有第二个参数，则生成一个多项式。

③ 例如：

p = np.poly1d([2,3,5,7])

print(p)==>>2x3+3x2+5x+7

④ 若第二个参数为True，则表示把数组中的值作为根，然后反推多项式。

⑤ 例如：

q = np.poly1d([2,3,5],True)

print(q)===>>(x-2)(x-3)(x-5)=x3-10x2+31x-30

附录05：%matplotlib inline

① 有了%matplotlib inline 就可以省掉plt.show()了。

② 如果不加这一句的话，我们在画图结束之后需要加上plt.show()才可以显示图像。

附录06：numpy.random.randn()函数

① randn函数返回一组样本，具有标准正态分布。

② 标准正态分布又称为u分布，是以0为均值、以1为标准差的正态分布，记为N(0，1)。

附录07：plt.axis()函数

① axis是用来设置具体某一个坐标轴的属性的。

② xmin, xmax, ymin, ymax = axis([xmin, xmax, ymin, ymax])

附录08：最小二乘法

① 当M个点具有线性关系时，我们可以使用一个 N-1 阶的多项式拟合这 M 个点，关系式为：

② 即：

③ 要得到C，可以使用scipy.linalg.lstsq求最小二乘解。

附录09：numpy.linalg库

① numpy.linalg模块包含线性代数的函数，使用这个模块，可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。

附录10：scipy.stats库

① Scipy的stats模块包含了多种概率分布的随机变量，随机变量分为连续的和离散的两种。

附录11：lstsq()函数

① lstsq()函数表示最小二乘法，它有四个返回值，第一个返回值的第一个元素为多项式的系数，第二个返回值为平方和残差，第三个返回值句矩阵X的秩，第四个返回值为矩阵X的奇异值。

附录12：linregress()函数

① linregress(x,y)函数就是线性回归的函数。

② linregress(x,y)函数有五个返回值，第一个返回值slope为斜率，第二个返回值intercept为截距，第三个返回值r_value为相关系数,第四个返回值p-value为没有相关性的可能性，第五个返回值stderr为拟合的均方根误差。

附录13：np.hstack()函数

① np.hstack()函数使得数组沿着水平方向堆叠起来。

import numpy as np

arr1 = np.array([1, 2, 3])

arr2 = np.array([4, 5, 6])

res = np.hstack((arr1, arr2))

print(res)

输出结果:

[1 2 3 4 5 6]

arr1 = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])

arr2 = np.array([[7, 8], [9, 0], [0, 1]])

res = np.hstack((arr1, arr2))

print(res)

输出结果：

[[1 2 7 8]

[3 4 9 0]

[5 6 0 1]]

附录14：x[:,np.newaxis]

① x[:,np.newaxis]使得一行元素变成一列元素了。

附录15：np.exp()函数

① np.exp()函数返回e(自然对数的底)的幂次方。

附录16：norm.rvs()函数

① norm函数 可以实现正态分布，norm.rvs()函数通过loc和scale参数可以指定随机变量的偏移和缩放参数，这里对应的是正态分布的期望和标准差。

② size得到随机数数组的形状参数。(也可以使用np.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=None))

附录17：curve_fit()函数

① 而curve_fit()函数是将模型函数适用于噪声数据的最后一步，它的主要功能就是计算出参数。

② curve_fit()函数第一个返回的是函数的参数，第二个返回值为各个参数的协方差矩阵，协方差矩阵的对角线为各个参数的方差。

参考文献：

1. Henri Jambo：Python曲线拟合详解

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