reference:claim 1 from https://web.archive.org/web/20170808113642id_/http://www.ece.mcmaster.ca/faculty/davidson/pubs/Sidiropoulos_etal_Multicast.pdf
a H : a^H: aH: 向量 a a a的共轭转置; ∣ a ∣ |a| ∣a∣:复数 a a a的模长; ∣ ∣ a ∣ ∣ ||a|| ∣∣a∣∣:向量 a a a的范数 ( a H a ) (\sqrt{a^H a}) (aHa)
考虑一个场景:一个有 N N N个天线元件的发射机希望向 M M M个有单一天线的接收器发送信息。设 h i \mathbf{h}_i hi表示 N × 1 N\times 1 N×1维的复向量,该复向量模拟从每个发射天线到用户 i ∈ { 1 , … , M } i \in\{1, \ldots, M\} i∈{1,…,M}的接收天线的频率平坦准静态信道的传播损耗和相移。设 w H w^H wH表示应用于发射天线单元的波束形成权向量。如果要传输的信号均值为0,方差为单位1,并且在接收器 i i i处的噪声是均值为0,方差 σ i 2 \sigma_i^2 σi2的白噪声,那么 i i i第一个用户的接收器SNR(信噪比)为 ∣ w H h i ∣ 2 / σ i 2 \left|w^H h_i\right|^2 / \sigma_i^2 ∣ ∣wHhi∣ ∣2/σi2。在设计发射机时,我们希望在给定每个用户可以接受的信噪比下界 { ρ i } i = 1 M \{\rho_i\}_{i=1}^M {ρi}i=1M的前提下最小化发射单元的能量消耗 w H w w^H w wHw。将 h i h_i hi做归一化,我们得到如下所示的QoS问题。
min w ∈ C N w H w s . t . ∣ w H h i ∣ ≥ 1 , i = 1 , . . . , M \min_{w\in \mathbb{C}^N} w^H w\\ s.t. |w^H h_i|\geq 1, i=1,...,M w∈CNminwHws.t.∣wHhi∣≥1,i=1,...,M
定义 H = [ h 1 , . . . , h M ] H=[h_1,...,h_M] H=[h1,...,hM]。定义 z H = w H H z^H=w^H H zH=wHH,则当 H H H行满秩时, w H = z H H † w^H=z^H H^\dagger wH=zHH†,其中 H † = H H ( H H H ) − 1 H^\dagger =H^H(HH^H)^{-1} H†=HH(HHH)−1为 H H H的右逆。定义 Q = H † ( H † ) H Q=H^\dagger (H^\dagger)^H Q=H†(H†)H,则以上问题等价于:
min z ∈ C N z H Q z s . t . ∣ z k ∣ ≥ 1 , k = 1 , . . . , M \min_{z\in \mathbb{C}^N} z^H Q z\\ s.t. |z_k|\geq 1, k=1,...,M z∈CNminzHQzs.t.∣zk∣≥1,k=1,...,M
下面我们证明该问题是NP-hard的:
我们考虑将一个著名的NP-hard的分划问题(PARTITION)归约到这个问题上:
给定 a 1 , . . . , a P > 0 , 判定是否存在集合 I 为 [ P ] 的子集: ∑ k ∈ I a k = 1 2 ∑ k = 1 P a k \text{给定} a_1,...,a_P>0, \text{判定是否存在集合$I$为$[P]$的子集:$\sum_{k\in I} a_k=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^P a_k$} 给定a1,...,aP>0,判定是否存在集合I为[P]的子集:∑k∈Iak=21∑k=1Pak
定义 M = 2 P + 1 M=2P+1 M=2P+1及复值向量 z = [ z 0 , . . . , z 2 P + 1 ] ∈ C M z=[z_0,...,z_{2P+1}]\in \mathbb{C}^M z=[z0,...,z2P+1]∈CM
定义 a = [ a 1 , . . . , a P ] T , A : = [ − 1 P I P I P − 1 2 1 P T a a T 0 P T ] , Q : = A T A + I M a=[a_1,...,a_P]^T, A:=\left[\begin{array}{ccc} -\mathbf{1}_P & \mathbf{I}_P & \mathbf{I}_P \\ -\frac{1}{2} \mathbf{1}_P^T \mathbf{a} & \mathbf{a}^T & \mathbf{0}_P^T \end{array}\right] ,Q:=\mathbf{A}^T \mathbf{A}+\mathbf{I}_M a=[a1,...,aP]T,A:=[−1P−211PTaIPaTIP0PT],Q:=ATA+IM
从而,根据任意 k , ∣ z k ∣ ≥ 1 k, |z_k|\geq1 k,∣zk∣≥1: z T Q z = ∣ ∣ A z ∣ ∣ 2 + ∑ k = 0 2 P ∣ z i ∣ 2 ≥ 2 P + 1 = M z^T Qz= ||Az||^2 +\sum_{k=0}^{2P} |z_i|^2\geq 2P+1=M zTQz=∣∣Az∣∣2+∑k=02P∣zi∣2≥2P+1=M
因此, z T Q z = M z^T Qz=M zTQz=M当且仅当 A z = 0 Az=0 Az=0且 ∣ z k ∣ = 1 , ∀ k |z_k|=1,\forall k ∣zk∣=1,∀k,当且仅当:
− z 0 + z k + z P + k = 0 , k = 1 , … , P − 1 2 ( ∑ k = 1 P a k ) z 0 + ∑ k = 1 P a k z k = 0 , ∣ z k ∣ = 1 , ∀ i ∈ [ k ] \begin{aligned} -z_0+z_k+z_{P+k} &=0, \quad k=1, \ldots, P \\ -\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^P a_k\right) z_0+\sum_{k=1}^P a_k z_k &=0 ,\\ |z_k|=1,\forall i\in [k] \end{aligned} −z0+zk+zP+k−21(k=1∑Pak)z0+k=1∑Pakzk∣zk∣=1,∀i∈[k]=0,k=1,…,P=0,
因此,不妨设 z k = e i θ k z 0 z_k=e^{i\theta_k} z_0 zk=eiθkz0,从而有: ∀ k ∈ [ P ] \forall k\in [P] ∀k∈[P]
cos θ k + cos θ P + k = 1 sin θ k + sin θ P + k = 0 \begin{array}{r} \cos \theta_k+\cos \theta_{P+k}=1 \\ \sin \theta_k+\sin \theta_{P+k}=0 \end{array} cosθk+cosθP+k=1sinθk+sinθP+k=0
这表明, ∀ k ∈ [ P ] \forall k\in [P] ∀k∈[P], θ k ∈ { − π / 3 , π / 3 } \theta_k\in \{-\pi/3,\pi/3\} θk∈{−π/3,π/3},且 cos θ k = 1 / 2 , ∀ k \cos \theta_k=1/2,\forall k cosθk=1/2,∀k
因此,必然有 Re { − 1 2 ( ∑ k = 1 P a k ) + ∑ k = 1 P a k z k z 0 } = 0 . \operatorname{Re}\left\{-\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^P a_k\right)+\sum_{k=1}^P \frac{a_k z_k}{z_0}\right\}=0 \text {. } Re{−21(∑k=1Pak)+∑k=1Pz0akzk}=0.
因此, − 1 2 ( ∑ k = 1 P a k ) z 0 + ∑ k = 1 P a k z k = 0 -\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^P a_k\right) z_0+\sum_{k=1}^P a_k z_k =0 −21(∑k=1Pak)z0+∑k=1Pakzk=0当且仅当 Im { − 1 2 ( ∑ k = 1 P a k ) + ∑ k = 1 P a k z k z 0 } = Im { ∑ k = 1 P a k z k z 0 } = ∑ k = 1 P a k sin θ k = 0 \begin{aligned} \operatorname{Im}\left\{-\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^P a_k\right)+\sum_{k=1}^P \frac{a_k z_k}{z_0}\right\} &=\operatorname{Im}\left\{\sum_{k=1}^P \frac{a_k z_k}{z_0}\right\} =\sum_{k=1}^P a_k \sin \theta_k=0 \end{aligned} Im{−21(k=1∑Pak)+k=1∑Pz0akzk}=Im{k=1∑Pz0akzk}=k=1∑Paksinθk=0
由于 sin θ k ∈ ± 3 / 2 \sin \theta_k\in \pm\sqrt{3}/{2} sinθk∈±3/2,我们得到 I = { k ∣ θ k = π / 3 } I=\{k|\theta_k=\pi/3\} I={k∣θk=π/3}