MATLAB - 拉普拉斯算子可视化

1、拉普拉斯算子${\nabla }^2$

拉普拉斯算子有很多用途，在物理中常用于波动方程、热传导方程和亥姆霍兹方程的数学模型；在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见；在数学中，经拉普拉斯算子运算运算为零的函数称为调和函数。可表示为：$$\nabla \cdot (\nabla u)={\nabla }^{2}u$$
拉普拉斯算子在不同的坐标系下具有不同的表达形式：

• 直角坐标系$${\nabla }^{2}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$$
• 圆柱坐标系$${\nabla }^{2}u=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$$
• 球坐标系$${\nabla }^{2}u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\varphi }^2}$$
• 广义正交曲线坐标系$${\nabla }^2\varphi =\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\left[\frac{\partial }{\partial u_1}\left(\frac{h_2{h}_3}{h_1}\frac{\partial \varphi }{\partial u_1}\right)+\frac{\partial }{\partial u_2}\left(\frac{h_1{h}_3}{h_2}\frac{\partial \varphi }{\partial u_2}\right)+\frac{\partial }{\partial u_3}\left(\frac{h_1{h}_2}{h_3}\frac{\partial \varphi }{\partial u_3}\right)\right]$$
  下面的代码利用公式${\nabla }^{2}F=\nabla (\nabla \cdot F)-\nabla \times (\nabla \times F)$对矢量函数$V$进行矢量的拉普拉斯运算，并显示最终的结果。

syms x y z
V = [x^2*y, y^2*z, z^2*x];
vars = [x y z];
gradient(divergence(V,vars)) - curl(curl(V,vars),vars)

运行结果：

2、del2函数

del2是离散拉普拉斯算子，利用差分运算得到微分运算的近似值。基本格式如下：

1. $L=del2(u)$
   该函数返回标量函数$u$的拉普拉斯微分运算的离散逼近，所有点之间离散化间距取默认值1。

2. $L=del2(u,h)$该函数返回标量函数$u$的拉普拉斯微分运算的近似值。所有维度上的点指定了一个均匀的标量间距$h$。

3. $L=del2(u,hx,hy,\dots ,hN)$
   与前面类似的，指定$hx,hy,\dots ,hN$为$u$的每个维度上的点的间距。需要注意的是，根据有限差分的理论，del2得到的是拉普拉斯运算的1/4的近似值，而不是运算本身。

3、拉普拉斯矩阵的可视化

下面的代码计算一个余弦函数的一维拉普拉斯矩阵。

x = linspace(-2*pi,2*pi);	             %定义x向量
U = cos(x);	                             %计算cos(x)
L = 4*del2(U,x);                         %计算U的拉普拉斯，注意系数4
plot(x,U,x,L)    	                     %画出U和U的拉普拉斯曲线
legend('U(x)','L(x)','Location','Best')	 %给出图例

结果如下：

对于多元函数，也可以计算其对应的拉普拉斯运算的结果，下面的代码是计算并绘制二维函数的离散拉普拉斯运算结果。

[x,y] = meshgrid(-5:0.25:5,-5:0.25:5);   %定义函数在x，y方向的区域
U = 1/3.*(x.^4+y.^4);                    %定义函数U
h = 0.25;                                %U中各点的间距在所有方向上都相等，所以可以指定一个间距h
L = 4*del2(U,h);                         %计算U的拉普拉斯变换
surf(x,y,L);
grid on;
title('Plot of $\Delta U(x,y) = 4x^2+4y^2$','Interpreter','latex')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
view(35,14);

结果如下：