动态规划之01背包和完全背包问题（力扣C++题解）

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目录

模板一：二维数组版本

 模板二：一维数组版本（滚动数组）

1：分割等和子集（01背包）

2：最后一块石头的重量 II（01背包）

3:目标和（组合问题）

 4：一和零

完全背包：

5：零钱兑换||（组合问题）

6：零钱兑换||||（排列总和）

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模板一：二维数组版本

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

问题：

（1）初始化问题：不能随意的凭感觉的初始化为0，或初始化为1，要根据实际情况

当这个点是初始点时，将数据带入，并检查，因为这个点时所有点的基石

当这个点不为初始点时，一般初始化为0（防止覆盖后面递推得出的数据）

比如在这个模板中：将第一行全部初始化为value[0]

意义为：当背包容量>=1时，如果只放第一件物品，那么背包所得到的最大价值就是value[0]

 (2)for循环遍历顺序问题：

一般我们都是先正序遍历物品的重量，再正序遍历背包容量，但实际上，在二维数组中，这个顺序完全可以颠倒，即先正序遍历背包容量，再正序遍历物品的重量；

因为它们之间互相不会覆盖，所以不受影响，但是下面的一维数组就要考虑了

（3）递推公式问题：01背包模板递推公式：

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

含义：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

返回即返回dp[weight.size()-1][bagweight]，也就是递推的最后一步

当不放入物品时：背包容量没有损失，最大价值等于上一个的价值（没有拿，价值不变）

当放入物品时：背包容量=背包容量-物品的重量，最大价值等于上一个的价值+新增物品的价值

 模板二：一维数组版本（滚动数组）

#include
#include 
#include
#include
using namespace std;
void test()
{
    vector weight = { 1, 3, 4 };
    vector value = { 15, 20, 30 };
    int bagweight = 4;
    //核心是：物品重量作为底，将背包的最大容量作为天花板，将天花板依次--，直到正好等于底
    //依次统计天花板降低时，dp[j]的最大价值
    //之后再重新换一个底，重复上述步骤
    vector dp(bagweight + 1, 0);
    for (int i = 0; i < weight.size(); i++)//物品重量
    {
        for (int j = bagweight; j >= weight[i]; j--)//背包容量
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

    cout << dp[bagweight] << endl;
}
int main()
{
	test();
	return 0;
}
dp[4]=max(dp[4]),dp[4-1]+15)=max(dp[4],dp[3]+15)  j=4
dp[3]=max(dp[3],dp[4-1]+15)=max(dp[3],dp[2]+15)  j=3
dp[2]=max(dp[2],dp[1]+15) j=2  ->>            
dp[1]=max(dp[1],dp[0]+15) j=1  ->>   dp[1]=max(0,15)=15

dp[4]=max(dp[4],dp[4-3]+vaule[1])=max(dp[4],dp[1]+20)=max(0,15+20)=35
dp[3]=max(dp[3],dp[3-3]+value[1])=max(dp[3],dp[0]+20)=max(0,0+20)=20

dp[4]=max(dp[4],dp[0]+value[2]=max(35,30)=35

问题：

（1）遍历顺序问题：

这里与二维数组的遍历顺序不同，先正序遍历了物品的重量，再逆序遍历了背包的容量，原因是：逆序时你会发现在第一遍遍历时：我的dp[4]不会影响到dp[3]，直到第一遍遍历快结束时，dp[1]才给了我们一个具体的数值，到第二遍遍历时，我们才是真正意义上的递推

由于比较难理解，我比较sha地把递推的过程都写了出来（在上面）

 接下来理解下被”影响“的含义：假设我的第二层是正序遍历

dp[1]=max(dp[1],dp[0]+15) j=1  ->>   dp[1]=max(0,15)=15
dp[2]=max(dp[2],dp[1]+15) j=2  ->>   dp[2]=max(0,30)=30
dp[3]=max(dp[3],dp[4-1]+15)=max(dp[3],dp[2]+15) dp[3]=45
dp[4]=max(dp[4]),dp[4-1]+15)=max(dp[4],dp[3]+15) dp[4]=60

你会发现：物品1被重复放进了背包，这与题目规定的：物品只有一件的条件相违背！

同时，两个for循环的先后顺序也不能颠倒

（2）初始化问题：

一开始是将数组全部初始化为0，经过一次遍历后，数组别重新修改为了15(value[0])

 （3）递推公式问题：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);（很好理解:大过你就覆盖）

此时的dp[j]和上面的dp[i][j]中的dp[j]含义一样：当背包容量为j时，背包存储的最大价值

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1：分割等和子集（01背包）

 思路解析：

这道题实质是将数组分为两部分：

（1）对数组进行求和，总和记录为sum

·····1如果sum为奇数，那么就证明sum无法被拆为两部分，return false;

·····2如果sum为偶数，那么用target=sum/2

（2）相当于只要证明容量为target的背包只要当容量满的时候，它的价值为target即可完成

对于数组中的数字大小，即是它的重量又是它的价值

递推公式为：dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i])

(3)判断->相当于（2）的话用代码表示即为：dp[target]==target-->return true;  else false;

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector& nums) {
    int sum = 0;
	vectordp(10001, 0);
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
	if (sum % 2) return false;
	int target = sum / 2;
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
	{
		for (int j = target; j >= nums[i]; j--)
		{
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
		}
	}
	if (dp[target] == target) return true;
	return false;
    }
};

问：为什么dp数组开10001这么大？

答：因为

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100
• 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，+1是为了对齐，我们需要target这个下标

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2：最后一块石头的重量 II（01背包）

 思路解析：

这道题很容易联想到将数组分为大小最为接近的两堆，以此得到最优值

（1）对数组进行求和，总和记录为sum

将target=sum/2  分为两半，target和sum-target

但是注意：当sum为偶数时，这两堆相等

当sum为奇数时，由于target=sum/2，向下取整，所以target比sum-target小

（2）既然是求剩下石头重量，那么我们只需让这两个相减即可，当然是大的-小的

所以我们就确定了最后一步：return (sum-dp[target])-dp[target];

接下来的目标就是求dp[target]

（3）递推公式

dp[j]=max(dp[j]，dp[j-nums[i]]+nums[i])

同样的在数组中，数字的大小，即是它的价值也是它的重量

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector& nums) {
    int sum = 0;
	vector dp(15001, 0);
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
	int target = sum / 2;
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
	{
		for (int j = target; j >= nums[i]; j--)
		{
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
		}
	}
	return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

解释：dp的大小应该不用我过多解释了^ ^

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3:目标和（组合问题）

 思路解析：

这道题与前两题不同的是：前两题求的是价值，这道题求是的数量

由于只有加减法：那么我们就假设加法的数量为x，总数为sum，那么减法的数量为sum-x

即有：x-(sum-x)=target，target为目标值

我们可以进行讨论：

如果总数sum

经过上式则可得x的表达式为：x=(target+sum)/2;

由于x必定为整数，所以target和sum的值必须为偶数

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了

递推公式为：dp[j] += dp[j - nums[i]]

dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

int findTargetSumWays(vector& nums, int target) {
	int sum = 0;
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
	if (abs(target) > sum) return 0;
	if ((sum + target) % 2 == 1) return 0;
	int bagsize = (sum + target) / 2;
	vector dp(bagsize + 1, 0);
	dp[0] = 1;
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
	{
		for (int j = bagsize; j >= nums[i]; j--)
		{
			dp[j] += dp[j - nums[i]];
		}
	}
	return dp[bagsize];
}

解释：关于dp的初始化：dp[0]=1，当容量为0时，填满它只有一种方法：不填

这么解释虽然很牵强，但是从递推公式我们可以看出，如果初始化为0，那么所有的结果均为0

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 4：一和零

 思路解析：

题目的意思：让你返回满足这个条件的最长串

这道题有难…………，因为它的重量变为了两种，0的数量和1的数量，价值呢？字符串的个数

可以简单地理解为：重量是要消耗的，价值是我们想要的结果

（1）遍历整个大串，在大串中遍历小串，在小串中用字符去遍历，统计0和1的个数

（2）遍历顺序：最外层是大串（物品的重量），内层是（背包的容量）（有两个内层！）

（3）递推公式：因为这里是求最优（而不是3题的方法数），所以并非组合问题

dp[i][j]=max(dp[i][j]，dp[i-zerosize][j-onesize]+1);

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector& strs, int m, int n) {
        vector> dp(m + 1, vector (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

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完全背包：

（1）次数不同

与01背包不同的是，同一件物品，在01背包问题中，只能取1次，而在完全背包问题中，可取无数次（只要背包容量够）

（2）次数不同导致了遍历顺序不同

在01背包中，第二层的for循环我们逆序遍历背包的容量

在完全背包中，第二层的for循环，我们可以正序遍历背包的容量

 （3）组合问题和排序问题

组合问题的遍历方式：先物品再背包（都是正序）

排列问题的遍历方式：变背包再物品（都是正序）

 完全背包模板：

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

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5：零钱兑换||（组合问题）

 思路解析：

不考虑顺序，求组合总数

由于是组合总数：所以遍历顺序是：先物品再背包

由于是组合总数：所以递推公式是：dp[j]=dp[j-nums[i]]

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        vector dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

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6：零钱兑换||||（排列总和）

 思路解析：

这道题就是妥妥的排列总数题

由于是排列总数：所以遍历顺序为：先背包再物品

由于是排列总数：所以递推公式为：dp[i] += dp[i - nums[j]];（一摸一样）

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector& nums, int target) {
    vector dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 ) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

解释：防止溢出我把dp的类型换为了unsigned int，期间我试过了int，long long都会溢出

索性换为了unsigned int，没想到居然过了^ ^

题目数据保证答案符合 32 位整数范围

等我问大佬清楚了，再来补充^ ^