【实验】实验五 MATLAB高等数学运算20211125

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实验五 MATLAB高等数学运算

@Copyright 华南农业大学 数学与信息学院 数学系 主讲与制作：岑冠军

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一、实验目的

• 掌握基于MATLAB的线性大数及矩阵相关计算；
• 熟悉MATLAB符号计算与数值计算相关函数；
• 掌握符号极限、导数、积分、常微分方程的解，以及数值导数、积分和常微分方程的解；
• 掌握非线性方程及方程组的符号解与数值解。

二、实验原理

• 线性代数计算：\，null，rref，rank，det，eig，inv等相关函数；
• 符号计算：sym，syms，limit，diff，int，dsolve，solve;
• 数值计算：diff，integeral，integeral2，ode45，fzero，fsolve。

三、实验内容

1. 求方程组$\left[\begin{array}{cccc}2& -1& -1& 1\\ 1& 1& -2& 1\\ 4& -6& 2& -2\\ 3& 6& -9& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\\ 9\end{array}\right]$的解。

format rat % 将数据显示格式定为分数型
% A1 x = b
A1 = [2, -1, -1, 1; 1, 1, -2, 1; 4, -6, 2, -2; 3, 6, -9, 7];
b = [2; 4; 4; 9];
fprintf("系数矩阵的秩为 %d\n增广矩阵的秩为 %d", rank(A1), rank([A1 b]));
% 发现解存在，且有无穷多解，故需计算齐次线性方程组的基础解系和特解
% 关于 null() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/null.html
null(A1, 'r') % 返回零空间的有理基，即计算齐次方程的基础解系
A1 \ b % 计算特解（提示有误差，但非常小，这里可以不理会）
% rref([A1 b]) % 尝试化为行阶梯型验证特解是否可靠
clearvars

2. 求下列极限：
   (1) ${\lim }_{n\to \infty }(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})$；
   (2) ${\lim }_{x\to \infty }(1-\frac{2}{x}{)}^{3x}$；
   (3) ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x^3+3x}$。

syms n x; % 定义符号变量
% (1)
% limit() 的第一个参数是一个含符号变量的表达式（注意这个式子不同于等式）
% 关于 limit() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/limit.html
limit(sqrt(n + sqrt(n)) - sqrt(n), n, inf)
% (2)
limit((1-2/x)^(3*x), x, inf)
% (3)
limit(sin(x) / (x^3 + 3*x), x, 0)
clearvars

3. 求下列导数：
   (1) $\frac{d}{dx}{x}^{10}+10^x+{\log }_x(10)$；
   (2) $\frac{d^2}{d{x}^2}\ln (1+x)$当$x=1$时的值。

% (1)
syms x
% 关于 diff() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/diff.html
% 换底公式 \log_x(a) = \frac{1}{\log_a(x)}
diff(x^10 + 10^x + 1/log10(x))
% (2)
syms f(x) % 定义随 x 变化的符号变量 f ，以便后续求 x=1 时的值
f(x) = log(1+x);
f2 = diff(f, x, 2); % 二阶导
f2(1) % 求当 x=1 时的值
clearvars

4. 求下列积分的符号解：
   (1) $\int \cos (2x)\cos (3x)dx$；
   (2) ${\int }_{-a}^a\left(\frac{x^2\arctan x}{x^4+1}-\sin (\frac{x}{2}{)}^2\right)dx$；
   (3) ${\int }_1^4\left[{\int }_{\sqrt{y}}^2(x^2+y^2)dx\right]dy$。

syms x y a
% (1)
% 函数 int() 若给定区间参数 [x1 x2] 则返回定积分，若未给定则返回不定积分（符号的形式）
% 关于 int() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/int.html
int(cos(2*x)*cos(3*x))
% (2)
int((x^2 * atan(x) / (x^4 + 1)) - (sin(x/2))^2, x, [-a a])
% (3)
int(int((x^2 + y^2), x, [sqrt(y) 2]), y, [1 4])
clearvars

5. 求下列定积分的数值解：
   (1) ${\int }_0^{\pi }\sqrt{{\sin }^3(x)-{\sin }^5(x)}dx$；
   (2) ${\int }_1^{3}dx[{\int }_{x-1}^2{e}^{y^2}dy]$。

% (1)
% 函数 integral() 可直接计算数值解，当然也可以采用 int() 计算
% 不同的是 int() 需要表达式，而 integral() 需要函数句柄
% 关于 integral() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/integral.html
integral(@(x) sqrt((sin(x)).^3 - (sin(x)).^5), 0, pi)
% (2)
% 本题给出使用 int() 的方式，不过建议使用 integral2()
% 关于 integral2() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/integral2.html
% 这里的 @(y) exp(y.^2) 实际上创造了一个关于 y 的函数句柄，而表达式的符号变量为 x
% syms x
% int(int(@(y) exp(y.^2), x-1, 2), 1, 3)
ymin = @(x) x-1;
integral2(@(x, y) exp(y.^2), 1, 3, ymin, 2)
clearvars

6. 求下列微分方程的符号解：
   (1) $\frac{d}{dx}y+\frac{y}{x}=\frac{\sin (x)}{x},y(\pi )=1$；
   (2) $y^{\prime \prime }+y^{\prime 2}=1,y(0)=1,y^{\prime }(0)=2$。

% (1)
syms y(x)
% 关于 dsolve() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/dsolve.html
eq1 = ( diff(y, x) + y/x == sin(x) / x ); % 定义一个微分方程
cond1 = ( y(pi) == 1 ); % 给出初值条件
dsolve(eq1, cond1) % 注意第一个参数 eq1 不同于前面的表达式和函数句柄，而是用 == 表示的等式
% (2)
syms g(x)
eq2 = ( diff(y, x, 2) + diff(y, x)^2 == 1 );
cond2 = ( y(0) == 1 ); % 初值条件 1

% 定义 y^{\prime} 以表示 y^{\prime}(0)=2 的初值条件
g(x) = diff(y, x);
cond3 = ( g(0) == 2 ); % 初值条件 2

dsolve(eq2, cond2, cond3)
clearvars

7. 求下列微分方程的数值解并绘出求解区间的图，并与符号解对比：
   (1) $\frac{d}{dx}y+y\cot x=5e^{\cos x},y\left(\frac{\pi }{2}\right)=-4$，求解区间$[\frac{\pi }{2},\pi ]$；
   (2) $x^{2}y\prime \prime +4x{y}^{\prime }+2y=0,y(1)=2,y^{\prime }(1)=-3$(本小题选做) 。

% (1)
figure;
% 关于 ode45() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/ode45.html
% 通过给定函数句柄、求解区间、初值条件求解，返回一系列 (x,y) 坐标
[x, y] = ode45(@(x, y) 5.*exp(cos(x)) - y.*cot(x), [pi/2 pi-0.1], -4);
plot(x, y, '-o');
title('7\_(1)');
grid on

% (2)
figure;
% 关于 ode45 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/ode45.html
% 本题需要将原方程降阶
% 令 y = y_1 ，则
% y_1^\prime = y_2
% y_2^\prime = - (4xy_2 + 2y_1) / x^2
% 写成参数要求的函数句柄为
% function dydx = eqy(x, y)
%     dydx = [y(2); - (4.*x.*y(2) + 2.*y(1)) / x^2];
% end
[x, y] = ode45(@eqy, [1 20], [2; -3]);
plot(x, y(:, 1), '-o', x, y(:, 2), '-o');
legend('y_1', 'y_2');
title('7\_(2)');
grid on

clearvars

8. 求下列方程或者方程组的数值解：
   (1) $3x+\sin x-e^x=0$；
   (2) $\left[\begin{array}{c}{x}_1+2x_2-3=0\\ 2x_1^2+x_2^2-5=0\end{array}\right]$。

% (1)
figure;
fplot(@(x) 3.*x + sin(x) - exp(x), [-3, 3]);  % 通过函数绘图来查看函数零点所处的位置
title('8\_(1)');
grid on

% fzero() 需要给定某个点以搜索非线性函数附近的零点，此即画图之故
% 关于 fzero() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fzero.html
fzero(@(x) 3.*x+sin(x)-exp(x), 0), fzero(@(x) 3.*x+sin(x)-exp(x), 2)
% (2)
% 将待求解方程组类似向量来定义
% function E = linEqs(x)
%     E(1) = x(1) + 2.*(x(2)) - 3;
%     E(2) = 2.*(x(1)).^2 + (x(2)).^2 - 5;
% end
% 关于 fsolve() 请参考 https://ww2.mathworks.cn/help/optim/ug/fsolve.html
fsolve(@linEqs, [1, 2])

函数文件

function dydx = eqy(x, y)
    dydx = [y(2); (-2.*y(1) - 4.*x.*y(2)) / x^2];
end
function E = linEqs(x)
    E(1) = x(1) + 2.*(x(2)) - 3;
    E(2) = 2.*(x(1)).^2 + (x(2)).^2 - 5;
end