AI笔记: 数学基础之方向导数的计算和梯度

方向导数

定理

• 若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微，沿任意方向l的方向导数
• $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$
• 其中$\alpha ,\beta ,\gamma$ 为l的方向角
• 证明
  • 由函数$f(x,y,z)$在点P可微
  • $△f=\frac{\partial f}{\partial x}△x+\frac{\partial f}{\partial y}△y+\frac{\partial f}{\partial z}△z+o(\rho )$
  • $=\rho (\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma )+o(\rho )$
  • $\frac{\partial f}{\partial l}={\lim }_{\rho \to 0}\frac{△f}{\rho }=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$

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• 对于二元函数f(x,y)在点P(x,y)处沿着方向l(方向角为$\alpha ,\beta$)的方向导数为
• $\frac{\partial f}{\partial l}={\lim }_{\rho \to 0}\frac{f(x+△x,y+△y)-f(x,y)}{\rho }=f_x^{\prime }(x,y)cos\alpha +f_y^{\prime }(x,y)cos\beta$
  • $\rho =\sqrt{(△x{)}^2+(△y{)}^2}$
  • $△x=\rho cos\alpha$
  • $△y=\rho cos\beta$
• 特别地
  • l与x轴同向($\alpha =0,\beta =\frac{\pi }{2}$)时，有$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}$
  • l与x轴反向($\alpha =\pi ,\beta =\frac{\pi }{2}$)时，有$\frac{\partial f}{\partial l}=-\frac{\partial f}{\partial x}$

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方向导数

• 方向导数(directional derivative): 有时不仅仅需要知道函数在坐标轴上的变化率(即偏导数)，还需要设法求得函数在其他特定方向上的变化率；
• 而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
• 如果函数$z=f(x,y)$在点P(x,y)是可微分的，那么，函数在该点沿着任意方向L的方向导数都存在
• 且计算公式为：$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta$

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例1

• 求函数$u=x^{2}yz$ 在点P(1,1,1)沿向量 $l=(2,-1,3)$的方向导数.
• $\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial u}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial u}{\partial z}cos\gamma$
• 解
  • 向量$l$的方向余弦为: $cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{14}},\cos \beta =\frac{-1}{\sqrt{14}},cos\gamma =\frac{3}{\sqrt{14}}$
  • ${\frac{\partial u}{\partial l}|}_P={(2xyz\ast \frac{2}{\sqrt{14}})-x^{2}z\ast \frac{1}{\sqrt{14}}+x^{2}y\ast \frac{3}{\sqrt{14}}|}_{(1,1,1)}=\frac{6}{\sqrt{14}}$

例2

• 求函数$z=x{e}^{2y}$在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2, -1)的方向的方向导数
• 解
  • 方向l即向量$PQ=(1,-1)$的方向，与l同方向的单位向量$e_l=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}).=(cos\alpha ,cos\beta )$
  • 因函数可微，且${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(1,0)}={e^{2y}|}_{(1,0)}=1,{\frac{\partial z}{\partial y}|}_{(1,0)}={2x{e}^{2y}|}_{(1,0)}=2$
  • 所以，所求方向导数为：${\frac{\partial z}{\partial l}|}_{(1,0)}=1\ast \frac{1}{\sqrt{2}}+2\ast (-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

例3

• 求$f(x,y,z)=xy+yz+zx$ 在点(1,1,2)沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为：60°, 45°, 60°
• 解：
  • 与l同方向的单位向量 $e_l=(cos60°,cos45°,cos60°)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$
  • 因函数可微，且
    • $f_x^{\prime }(1,1,2)=(y+z){|}_{(1,1,2)}=3$
    • $f_y^{\prime }(1,1,2)=(x+z){|}_{(1,1,2)}=3$
    • $f_z^{\prime }(1,1,2)=(y+x){|}_{(1,1,2)}=2$
  • 所以$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(1,1,2)}=3\ast \frac{1}{2}+3\ast \frac{\sqrt{2}}{2}+2\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+3\sqrt{2})$

梯度

1 ） 概念

• 在空间的每一个点都可以确定无限多个方向，因此，一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数.
• 在这无限多个方向导数中，最大的一个(它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少? 它是沿什么方向达到的?
• 描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量，就是我们所讨论的梯度.
• 梯度是场论里的一个基本概念.所谓"场", 它表示空间区域上某种物理量的一种分布
• 从数学上看，这种分布常常表示为 $\Omega$ 上的一种数值函数或向量函数
• 能表示为数值函数u=u(x,y,z)的场，称为数量场，如温度场、密度场等

2 ) 方向导数公式

• $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$
  • 令向量 $G=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$
  • $l°=(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma )$
• $\frac{\partial f}{\partial l}=G\cdot l°=|G|cos(G,l°)(|l°|=1)$
• 当$l°$与$G$方向一致时，方向导数取最大值：$max(\frac{\partial f}{\partial l})=|G|$
• 可见：$G$
  • 方向：f 变化率最大的方向
  • 模：f 的最大变化率之值

3 ) 梯度定义

• 向量$G$：称为函数$f(P)$在点P处的梯度(gradient), 记做：grad f
• 即 $gradf=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$
• 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 $gradf=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$
• 说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影
• $\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})$, 引用记号，称为奈布拉(Nebla)算符，或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton)算子
• 则梯度可记为：$gradf=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\nabla f$
  • 函数f沿梯度grad f方向，增加最快(上升)
  • 函数f沿负梯度 -grad f方向，减小最快(下降)
• $gradf(x_0,y_0)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)i+f_y^{\prime }(x_0,y_0)j)$
  • 或 $\nabla f(x_0,y_0)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)i+f_y^{\prime }(x_0,y_0)j=f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$
• $gradf=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$
  • 或 $\nabla f(x_0,y_0,z_0)=\{f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0),f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\}=f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)i+f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)j+f_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)k$

说明

• 以三元函数为例，设$u=f(x,y,z)$在点P(x,y,z)处可微分，则函数在该点的梯度为 $gradf=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=(\frac{\partial (f)}{\partial (x,y,z)})$
• 梯度是函数$u=f(x,y,z)$在点P处取得的最大方向导数的方向，最大方向导数为：$|gradf|=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial z}{)}^2}$
• 函数$u=f(x,y,z)$在点P处沿方向$l$的方向导数：$\frac{\partial f}{\partial l}=gradf\cdot l°=\nabla f\cdot l°$

例1

• 求$grad\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$
• 解：
  • 这里$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$
  • 因 $\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2x}{(x^2+y^2{)}^2},\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2y}{(x^2+y^2{)}^2}$
  • 所以，$grad\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\frac{2x}{(x^2+y^2{)}^2}i-\frac{2y}{(x^2+y^2{)}^2}j$

例2

• 设$f(x,y,z)=x^3-x{y}^2-z$, $p(1,1,0)$.
• 问f(x,y,z)在p处沿什么方向变化最快，在这方向的变化率是多少?
• 解
  • $\nabla f=f_x^{\prime }i+f_y^{\prime }j+f_z^{\prime }k=(3x^2-y^2)i-2xyj-k$
  • $\nabla f(1,1,0)=2i-2j-k$
  • 沿 $\nabla f(1,1,0)$ 方向，增加最快(上升)
  • 沿 $-\nabla f(1,1,0)$ 方向，增加最快(下降)
  • $max\{\frac{\partial f}{\partial l}{|}_p\}=|gradf|=|\nabla f(1,1,0)|=3$
  • $min\{\frac{\partial f}{\partial l}{|}_p\}=-|gradf|=-|\nabla f(1,1,0)|=-3$