多项式乘法问题的快速傅里叶变换算法简述

问题：给定多项式 $A(x)={\Sigma }_{i=0}^n{a}_i{x}^i,B(x)={\Sigma }_{i=0}^m{b}_i{x}^i$ 的系数 $a_{\mathrm{0..}n},b_{\mathrm{0..}m}$，求其多项式乘积 $C(x)=A(x)B(x)={\Sigma }_{i=0}^{m+n}{c}_i{x}^i$ 的各项系数 $c_{\mathrm{0..}n+m}$，以下不妨设 $n>m$。

朴素算法：计算 $c_i={\Sigma }_{j=0}^i{a}_j{b}_{i-j}$，时间复杂度 $O(n^2)$。

多项式乘法的快速傅里叶变换（FFT）算法：
第一步，找到最小的 $N$，满足 $N\ge n+m$ 且 $N$ 为 2 的整数幂，将多项式 $A(x)$ 和 $B(x)$ 高次项系数补 $0$，补至 $x^{N-1}$ 项为止，至此 $A(x)$ 和 $B(x)$ 以及积 $C(x)$ 都有 $N$ 个系数；
第二步，用 FFT 将 $A(x)$ 和 $B(x)$ 由系数表示转为点值表示，即将 $a_0,a_1,..,a_{N-1}$ 转化为 $A({\omega }_N^0),A({\omega }_N^1),..,A({\omega }_N^{N-1})$，其中所取的 $N$ 个样本点是方程 ${\omega }^N=1$ 的 $N$ 个复根，即满足 ${\omega }_N^k=e^{\frac{2\pi ik}{N}}=\cos \frac{2\pi k}{N}+i\sin \frac{2\pi k}{N},i=\sqrt{-1}$，$B(x)$ 也是同理；
第三步，计算 $C({\omega }_N^k)=A({\omega }_N^k)B({\omega }_N^k)$，得出多项式 $C(x)$ 的点值表示；
第四步，用 FFT 将 $C(x)$ 由点值表示转为系数表示，这一步和第二步都可以在 $\Theta (n\log n)$ 的时间复杂度下完成；
第五步，删去系数为 $0$ 的高次项，保留到最高项 $c_{n+m}{x}^{n+m}$。
总时间复杂度 $O(n\log n)$。

FFT 具体细节不赘述，参考代码如下，其中 $FFT(a,l)$ 函数将 $a[\mathrm{0..}{2}^l]$ 由参数表示转为点值表示，$FFTN(a,l)$ 函数将 $a[\mathrm{0..}{2}^l]$ 由点值表示转为参数表示。

import math

def BitReverse(p, l):
    q, r = [], [0]
    for i in range(1, 1 << l):
        r.append(r[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << l - 1)
    for ri in r:
        q.append(p[ri])
    return q

def IterativeFFT(a, l, g):
    a = BitReverse(a, l)
    for s in range(l):
        m = 2 << s
        wm = complex(math.cos(2 * math.pi / m), g * math.sin(2 * math.pi / m))
        for k in range(0, 1 << l, m):
            w = complex(1)
            for j in range(m >> 1):
                u, t = a[k + j], w * a[k + j + (m >> 1)]
                a[k + j], a[k + j + (m >> 1)] = u + t, u - t
                w *= wm
    return a

def FFT(a, l):
    return IterativeFFT(a, l, 1)

def FFTN(a, l):
    return [ai / (1 << l) for ai in IterativeFFT(a, l, -1)]

由于 FFT 引入复数和浮点运算，使得运算结果和标准答案间存在由小数运算导致的系统误差。考虑到复数域上方程 $z^N=1$ 与模 $p$ 剩余类域上方程 $x^N\equiv 1(modp)$ 的同构性，若 $\exists x_N\in [1,p-1]$ 使得 $x_N^N\equiv 1(modp)$ 且对于 $\forall i,j\in [1,N]$，若 $i\ne j$ 则 $x_N^i\not\equiv x_N^j(modp)$，则 $x_N$ 在模 $p$ 意义下与 FFT 中的 ${\omega }_N$ 作用相同，可以代替以避免引入复数和浮点运算。以上就是数论变换（NTT）的简要概括。