【数学与算法】【分段三次Hermite插值】和【分段三次样条插值】

光滑曲线在数学上的定义是什么？？

原文链接：光滑曲线在数学上的定义是什么?

回答1：
定义:切线随切点的移动而连续转动。

若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线。则为光滑曲线。简言之，若$f^{\prime }(x)$连续，则曲线光滑。

但反之，不成立。比如圆，圆在直角坐标系下，有两条竖直的切线，导数不存在（为∞大）。

回答2：
不敢保证对。但同纠结这个问题，想了许久，有点心得，拿来探讨。希望有缘破解心中迷雾：

• 1.光滑，从直观上是不突兀，流线的。台阶本质上是折线，因此在转折处感觉尖锐，突兀，是为不光滑。例如$y＝丨x丨$在$x＝0$处就很尖锐。$y＝x^2$在 $x＝0$处是一段曲线，看上去用手摸了不会扎手。
• 2.存在切线，就是在一点附近，曲线无限接近于一条直线。曲线被磨平了，只有这样，才不扎手。要求切线随着点连续转动，就是表达曲线不会一下子过度太快，无限接近的两点形状无限接近。

至于判断，先直观想象图像，再证明。

求一次导，相当于把函数的变化过程放大一次。因此严格的光滑定义要求无限阶可导，也就是不管怎么拉大拉平，都是不扎手。

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分段差值：

分段插值: 通常可能指的是直接分段低次线插, 通俗来说 这样出来的线条不是很平滑. 因为在节点上不一定可导.
直接hermite插值就和一楼说的差不多三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑(考虑了二阶倒数)，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；
而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。(S(x)为插值基函数,f为你要插值的函数)

分段三次埃尔米特插值：

可以参考：数值分析(4)-多项式插值: 埃尔米塔插值法

Hermite 插值就是要求插值函数不仅经过所给节点，而且要保证在该点的导数也相等。

以3个点为例，想要使用分段3次Hermite 插值求出这三个点的插值函数：
分析一下，每一段三次hermite插值多项式 $f(x)=a+b\ast x+c\ast x^2+d\ast x^3$都有4个未知系数需要求解，三个点就是两段，那么就有2*4=8个未知数。8个未知数，就需要联立8元一次方程组，需要8个方程：
$$\begin{gathered} S_0(x_0)=y_0 \\ {S}_0(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_2)=y_2 \\ {S}_0^{\prime }(x_1)=S_1^{\prime }(x_1)：一阶导数值相等 \end{gathered}$$
上面有5个方程，还差3个方程，这三个方程从定义中可知，需要知道每个点$x_0、x_1、x_2$处的导数。即$S_0^{\prime }(x_0)、S_1^{\prime }(x_1)、S_1^{\prime }(x_2)$的导数值必须已知，但是实际工程中是不太可能知道每个点的导数值的。因为，你连原函数都不知道，怎么能知道导数值呢？

总结一下：Hermite插值在实际使用的时候没有多大意义，同时知道点和导数，还假装不知道原函数的情况，不多(PS:都知道导数了有什么计算的必要？)

所以，一般用牛顿，牛顿大法好！

分段三次样条插值：

推荐参考【三次样条（cubic spline）插值】
可以参考【数值分析(5)-分段低次插值和样条插值】

三次多项式有两种形式，很自然的，我们会想到第一种，如下：

$$y=a_i+b_{i}x+c_i{x}^2+d_i{x}^3\text{\hspace{1em}(1)}$$
我们还有第二种写法，下面的曲线表达式经过$(x_i,y_i)$：
$$y=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i{)}^2+d_i(x-x_i{)}^3\text{\hspace{1em}(2)}$$
把上面(2)这个展开后，变成了：
$$y=(a_i-b_i{x}_i+c_i{x}_i^2-d_i{x}_i^3)+(b_i-2c_i{x}_i+3d_i{x}_i^2)x+(c_i-3d_i{x}_i)x^2+d_i{x}^3$$
所以两种形式的写法都对，最终求出来的$a_i、b_i、c_i、d_i$虽然是不同的值，但是最终的表达式肯定是一样的。因为第二种写法的$a_i、b_i、c_i、d_i$并不是真正的系数，不过第二种写法在推导数学公式时很方便。

有点类似于我们小学时候学的$y=kx+b$和$y-y_i=k(x-x_i)$的样子，都是两种表示方法。

对于分段三次样条插值，就比分段三次hermite多项式插值多了一个条件，即各点的二阶导数相等。还是以三个点为例：
$$\begin{gathered} S_0(x_0)=y_0 \\ {S}_0(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_2)=y_2 \\ {S}_0^{\prime }(x_1)=S_1^{\prime }(x_1)：x_1处一阶导数值相等 \\ {S}_0^{\prime \prime }(x_1)=S_1^{\prime \prime }(x_1)：x_1处二阶导数相等 \end{gathered}$$
然后再利用三类边界条件中的其中一种边界条件，即可以从两个端点$x_0、x_2$处再得到两个方程。

三类边界条件：

用下面的解释更容易明白：
例如一系列节点 $x_0、x_1、......、x_{n-1}、x_n$，其中$x_0、x_n$是两个端点(也叫边界点)，三类边界条件如下：

• 自然边界:
  两个端点即边界点的二阶导都为0；
  $S_0^{\prime \prime }(x_0)=0$
  $S_n^{\prime \prime }(x_{n-1})=0$。
• 夹持边界:
  由边界点一阶导数给定，例如分别给两个边界点的一阶导数设定为$A$和$B$；
  $S_0^{\prime }(x_0)=A$
  $S_n^{\prime }(x_{n-1})=B$。
• 非扭结边界:
  使两个边界端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等。那么令
  $S_0^{\prime \prime \prime }(x_0)=S_0^{\prime \prime \prime }(x_1)$
  $S_n^{\prime \prime \prime }(x_{n-1})=S_n^{\prime \prime \prime }(x_n)$。