机器人学之运动学笔记【3】—— 机械臂DH表示法+正向运动学（Forward Kinematics）

1. 手臂几何描述方式

对空间中任意方向的两个转轴，两转轴之间有唯一一段线段a和这两个转轴都互相垂直，还需要一个角度α才能确定两转轴之间的相对位置。
当多个连杆串在一起看的时候，只有这两个参数描述是不够的，还需要两个参数d和θ来描述相邻线段a(i-1)和a(i)之间的相对几何关系。
所以总共需要四个参数描述两两连杆之间的位置关系，当关节是旋转关节时，θ是变量；当关节是移动关节时，d是变量。

2. 改进DH法 描述机械臂

2.1 在连杆上建立Frame

建立连杆坐标系步骤：
1找出各个关节轴，画出轴线的延长线
2找出关节轴i和i+1之间的公垂线或关节轴i和i+1的交点，以关节轴i和i+1的交点或公垂线与关节轴i的交点作为连杆坐标系的{i}原点
3规定z轴沿关节轴i的指向
4规定x轴沿公垂线指向，如果关节轴i和i+1相交，则规定x轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面
5按右手定则确定Y轴
6当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1}重合，对于坐标系{N}，原点和x方向可以任意选取，选取时，尽量使连杆参数为0.

定义中间连杆的Frame：

定义地杆（Link0）的Frame：
整个link0 杆件是固定不动的，link1 会动。为了简化，通常使 {0} 和 {1} 一致，并且当第一个关节变量θ1为0时，{0} 和 {1} 会重合。

定义Last Link(n) 的 Frame：
当最后一个关节变量θn为0时，使{n}的x轴方向和{n-1}的x轴方向一致，此时a(n)=0，α(n)=0，d(n)=0。

2.2 D-H参数定义

2.3 找到两 Link Frame 之间的 Transformations（R-D-R-D）

假设已知P在{i} 下的表达，若再知道 {i} 到 {i-1} 的变换矩阵的话，就可以将P在{i} 下的表达转换成P在 {i-1} 下的表达。

首先沿着X(i-1)轴旋转α(i-1)，使得Z( R )和Z(i)方向相同；
下一步，将坐标系沿着X( R )方向平移a(i-1)，使得Z(Q)和i轴重合；
下一步，将坐标系沿着Z( Q )方向旋转θ(i)，使得X( P )和X(i)方向相同；
最后一步，将坐标系沿着Z( P )方向向上平移d(i)，使得坐标轴与X(i)Y(i)Z(i)重合。

表达出来就是这样：

整理出一般表达式：

到这里就由4个参数找到了 {i} 到 {i-1} 之间的变换矩阵。
那么对于连续的 Link transformations ：

2.4 例题一（RRR）

可以发现
θ3=0时，X3和X2重合；
θ2=0时，X2和X1重合；
θ1=0时，X1和X0重合；

备注：t就是θ

2.5 例题二（RPR）

1、找出各个关节轴，画出轴线的延长线

2、找出关节轴之间的公垂线或交点，以关节轴i和i+1的交点或公垂线与关节轴i的交点作为连杆坐标系的{i}原点

3、规定z轴沿关节轴i的指向
4、规定x轴沿公垂线指向，如果关节轴i和i+1相交，则规定x轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面
5、按右手定则确定Y轴

6、确定{0}和{n}

6、写出DH参数表

2.6 例题三（晶圆机器人）

2.7 例题四（SCARA机器人）

3. 标准DH法 描述机械臂

• 与改进DH法的区别：
  1.改进DH法是将坐标系建在连杆的输入端，而标准DH法是将坐标系建在连杆的输出端。
  2.建立坐标系时，改进DH法定义的 Xi 轴沿着公垂线 a(i+1) 由 {i} 指向 {i+1} 的方向，而标准DH法定义的 Xi 轴沿着公垂线 a(i) 由 {i-1} 指向 {i}。

3.1 例题（RRR）

标准DH与改进DH结果对比

标准DH：

改进DH：

因为改进DH是定义到了 {3} 的原点，需要在乘上[L,0,0]才会代表空间中的P点，而标准DH {3}的原点就在P上，所以改进DH乘完之后就和标准DH一样了：

关于标准DH还有改进DH有一篇博客：

标准DH建模与改进DH建模

4. PUMA 560（改进DH）

α1是从X1方向看，Z1转向Z2的角度，顺时针90，所以是-90°；
α2是从X2方向看，Z2转向Z3的角度；
α3是从X3方向看，Z3转向Z4的角度，顺时针90，所以是-90°；
α4是从X4方向看，Z4转向Z5的角度，逆时针90，所以是90°；
α5是从X5方向看，Z5转向Z6的角度，顺时针90，所以是-90°；

a1是指轴1和轴2之间的公垂线长度;
a2是指轴2和轴3之间的公垂线长度;
a3是指轴3和轴4之间的公垂线长度;

d3是指沿着Z3方向，X2和X3之间的距离；
d4是指沿着Z4方向，X3和X4之间的距离；

θ1是以Z1方向看，X0和X1之间的夹角；
θ2是以Z2方向看，X1和X2之间的夹角；
θ3是以Z3方向看，X2和X3之间的夹角；
θ4是以Z4方向看，X3和X4之间的夹角；
θ5是以Z5方向看，X4和X5之间的夹角；
θ6是以Z6方向看，X5和X6之间的夹角；

标准DH转化为改进DH可以将α(i)和a(i)均向下平移一格：

关于PUMA 的 DH 建模以及 MATLAB 建模，参考下面一位大佬的博客，连接如下，写的非常好：

PUMA560机器人D-H参数和改进DH参数