【408考研】数据结构 ——数组与特殊矩阵

数组与特殊矩阵

数组

• 定义：由 $n$ 个相同类型的数据元素构成有限序列，每个数据元素称为一个数组元素，每个元素在 $n$ 个线性关系中的序号称为该元素的下标，下标的取值范围称为数组的维界。
• 数组与线性表的关系：数组是线性表的推广
  • 一维数组：可视为线性表
  • 二维数组：可视为其元素是定长线性表的线性表

位序和下标的区别：下标从0开始，位序从1开始。

数组的存储结构

• 一个数组的所有元素在内存中占一段连续的存储空间

• 一维数组$A[0\dots n-1]$ 的存储结构关系式: $LOC(a_i)=LOC(a_0)+i\times L(0\le i<n)$ , 其中 $L$ 是每个数组元素所占的存储单元。

• 多维数组 ：

  • 按行优先 ：先行后列，先存储行号较小的元素，行号相等先存储列号较小的元素。
    • 存储结构关系式：$LOC(a_{i,j})=LOC(a_{0,0})+[i\times (h_2+1)+j]\times L$
    • 二维数组 列 下标的范围 $[0,h_2]$
  • 按列优先：先列后行，先存储列号较小的元素，列号相等先存储行号较小的元素。
    • 存储结构关系式：$LOC(a_{i,j})=LOC(a_{0,0})+[j\times (h_1+1)+i]\times L$
    • 二维数组的 行 下标的范围 $[0,h_1]$

• 举个栗子 : 二维数组 $A_{2\times 3}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}\end{array}\right]$

  • 用一维数组存放 : 以行优先 $\begin{array}{cccccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}& a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}\end{array}$
  • 用一维数组存放 : 以列优先 $\begin{array}{cccccc}{a}_{0,0}& a_{1,0}& a_{0,1}& a_{1,1}& a_{0,2}& a_{1,2}\end{array}$

特殊矩阵

一般矩阵： $\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right]$

一般矩阵是用二维数组来存储这些数据。

• 对称矩阵：对于n阶方阵$A[1\dots n][1\dots n]$中任意一个元素 $a_{i,j}$ 都有 $a_{i,j}=a_{j,i}$ $(1\le i,j\le n)$ , 则称为对称阵。ps : 方阵都是 $n$ 行 $n$ 列的矩阵

  • 举个栗子：$\left[\begin{array}{ccc}1& 7& 8\\ 7& 2& 0\\ 8& 0& 3\end{array}\right]$ 关于对角线对称

  • 不难发现上三角区和下三角区对应的元素是相同的，如果还用二维数组存放，则会浪费几乎一半的存储空间。为此要压缩对称矩阵，只需存放下三角的元素即可，仅需使用一维数组即可。

  • 在一维数组中存放的位置（假设下标为k，k从 $0$ 开始）：$k=\{\begin{array}{l}\frac{i(i-1)}{2}+j-1,i\ge j\\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1,i<j\end{array}$

• 三角矩阵：

  • 上三角矩阵: $\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ & a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & a_{n,n}\end{array}\right]$
  • 下三角矩阵: $\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& & & \\ a_{2,1}& a_{2,2}& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right]$
  • 三角矩阵在内存中的压缩存储形式:

    • 

    • 下三角矩阵在一维数组中存放的位置（假设下标为k，k从 $0$ 开始）：$k=\{\begin{array}{l}\frac{i(i-1)}{2}+j-1,i\ge j\\ \frac{n(n+1)}{2},i<j\end{array}$

    • 上三角矩阵在一维数组中存放的位置（假设下标为k，k从 $0$ 开始）：$k=\{\begin{array}{l}\frac{(i-1)(2n-i+2)}{2}+(j-i),i\le j\\ \frac{n(n+1)}{2},i>j\end{array}$

• 三对角矩阵：对角矩阵也叫带状矩阵。

  • 对于 $n$ 阶方阵 $A$ 中的任一元素 $a_{i,j}$ , 当$|i-j|>1$ 时，有 $a_{i,j}=0$ $(1\le i,j\le n)$ 则称为三对角矩阵。
  • 三对角矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& 0& 0& 0& 0\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& 0& 0& 0\\ 0& a_{3,2}& a_{3,3}& a_{3,4}& 0& 0\\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ 0& 0& 0& a_{n-1,n-2}& a_{n-1,n-1}& a_{n-1,n}\\ 0& 0& 0& 0& a_{n,n-1}& a_{n,n}\end{array}\right]$
  • 三对角矩阵的压缩存储 (用一维数组存放) $\begin{array}{ccccccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& \dots & a_{n-1,n}& a_{n,n-1}& a_{n,n}\end{array}$

注意 : 上述的对称矩阵、三角矩阵和三对角矩阵都是方阵，即都是 $n$ 行 $n$ 列的矩阵。

稀疏矩阵

• 矩阵中非零元素的个数 $t$ , 相对矩阵元素的个数 $s$ 来说非常少，即 $s>>t$ 的矩阵称为稀疏矩阵。

• 当稀疏矩阵阶数比较大时，矩阵中的非零元素会相对比较少。若用常规的方法存储稀疏矩阵，非常浪费存储空间，这时仅需要存储非零元素即可。

• $M=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 67& 0& 0\\ 0& 0& 6& 0\end{array}\right]$ 对应的三元组 ：$\begin{array}{ccc}i& j& value\\ 0& 0& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 1& 67\\ 3& 2& 6\end{array}$

  • 因为仅需存储非零元素，需要存储非零元素在矩阵中的位置（即行和列）和非零元素的值。

• 稀疏矩阵的三元组既可以采用数组存储，也可以采用十字链表法存储。

【408真题回顾】

• 【2016年统考真题】有一个 $100$ 阶的三对角矩阵 $M$，其元素 $m_{i,j}$ $(1\le i,j\le 100)$ 按行优先依次压缩存入下标从 $0$ 开始的一维数组 $N$ 中,元素 $m_{30,30}$ 在 $N$ 中的下标是（）。

   $A.86B.87C.88D.89$

• 【2017年统考真题】适用于压缩稀疏矩阵的两种存储结构是（）

   $A.三元组表和十字链表B.三元组表和邻接矩阵$

   $C.十字链表和二叉链表D.邻接矩阵和十字链表$

• 【2018年统考真题】设有一个 $12\times 12$ 的对称矩阵 $M$ ，将其上三角部分的元素 $m_{i,j}$ $(1\le i\le j\le 12)$ 按行优先存入C语言的一维数组 $N$ 中，元素中 $m_{7,2}$ 在 $N$ 中的下标是（）。

   $A.50B.51C.55D.66$

• 【2020年统考真题】将一个 $10\times 10$ 对称矩阵 $M$ 的上三角部分的元素 $m_{6,6}$ 在 $N$ 中的下标是（）。

   $A.15B.16C.22D.23$

• 【2021年统考真题】二维数组 $A$ 按行优先方式存储，每个元素占用1个存储单元。若元素 $A[0][0]$ 的存储地址是100，$A[3][3]$ 的存储地址是220，则元素 $A[5][5]$ 的存储地址是（）。

   $A.295B.300C.301D.306$

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未完待续….

参考资料 ：

1. 23版王道408数据结构单科书
2. 王道考点精讲视频课件

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【参考答案】$BAACB$