朴素贝叶斯算法与贝叶斯估计

1. 朴素贝叶斯算法

朴素贝叶斯算法是学习数据集的联合概率分布 $P(X,Y)$，而这个过程是通过学习先验概率 $P(Y=C_k)$ 和条件概率分布 $P(X=x|Y=C_k)$ 完成的。

1.1 定义一个数据集实例

定义一个数据集 $T$ 为 :
$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_N,y_N)\}$$
其中 $x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},\cdots ,x_i^{(n)}),x_i^{(j)}\in \{a_{j1},a_{j2},\cdots ,a_{j{S}_j}\}$.
$x_i^{(j)}$ 为第 $i$ 个样本的第 $j$ 个 feature，$a_{j{S}_j}$ 为第 $j$ 个 feature 可能取的第$S_j$个值, $j=1,2,\cdots ,n$.$y_i\in \{C_1,C_2,\cdots ,C_k\}$

• 概括描述该数据集

内容描述	数值	典型符号
数据集有N个样本标签	N	$y_N$, $x_N$
数据集每一个x样本中对应有n个features	n	$x_i^{(n)}$
数据集的标签有K类，分别为 $C_1,C_2,\cdots ,C_k$	k	$C_k$
每个特征 $x_i^{(j)}$ 有 $S_j$ 个可能的取值	$S_j$	$a_{j{S}_j}$

1.2 朴素贝叶斯算法步骤

1. 计算先验概率 $P\left(Y=C_k\right)$ : 得到训练集中每一类 $C_k$ 的概率.
   $$P\left(Y=C_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=C_k\right)}{N},k=1,2,\cdots ,K$$
2. 计算条件概率 $P\left(X^{(j)}=a_{jl}\mid Y=c_k\right)$
   $$P\left(X^{(j)}=a_{jl}\mid Y=C_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k\right)}{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=c_k\right)},j=1,2,\cdots ,n;l=1,2,\cdots ,S_j;k=1,2,\cdots ,K$$
3. 对于给定的实例 $x=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(n)}{)}^T$, 利用贝叶斯定理计算其后验概率 $P\left(Y=C_k\mid X^{(j)}=x^{(j)}\right)$:
   $$\begin{array}{rl}P\left(Y=C_k\mid X^{(j)}=x^{(j)}\right)& =\frac{P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)P\left(Y=C_k\right)}{{\sum }_{k}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)P\left(Y=C_k\right)}\\ & =\frac{P\left(Y=C_k\right){\prod }_{j}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=c_k\right)}{{\sum }_{k}P\left(Y=c_k\right){\prod }_{j}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=c_k\right)},k=1,2,\cdots ,K\end{array}$$

• 补充知识 – 贝叶斯定理：
  $$P(Y\mid X)=\frac{P(X,Y)}{P(X)}=\frac{P(Y)P(X\mid Y)}{{\sum }_{Y}P(Y)P(X\mid Y)}$$
  利用条件概率和先验概率计算 $P(Y\mid X)$

由于上述公式的分母对于任意 k，均相等，那么只需要比较分子的大小，即可得到后验概率最大的类别，便可以判断出实例 $x=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(n)}{)}^T$ 对应的分类是什么。

• 朴素贝叶斯之所以被称为朴素，是因为输入X的强独立性假设

因此，仅需计算分子部分，及计算下面公式，并且比较大小：
$$P\left(Y=C_k\right)\prod _{j=1}^{n}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right),k=1,2,\cdots ,K$$
4. 最后我们确定实例 $x=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(n)}{)}^T$ 对应的分类：
$$y=\arg \underset{C_k}{\max }P\left(Y=C_k\right)\prod _{j=1}^{n}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)$$

2. 贝叶斯估计

在朴素贝叶斯中（极大似然估计），估计的概率可能会出现0的情况，而这会影响后验概率的计算（1.2 朴素贝叶斯算法步骤 - 4) 因此我们需要加上Laplace 平滑使得概率大于0，从而使得连乘不至于=0.

2.1 Laplace smoothing 拉普拉斯平滑

在朴素贝叶斯的基础上，我们在分子分母都加上一个与 $\lambda$ 相关的正系数，其中 $\lambda >0$. 当 $\lambda =0$则为极大似然估计。当 $\lambda =1$时，为拉普拉斯平滑。
$$P_{\lambda }\left(X^{(j)}=a_{jl}\mid Y=c_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=C_k\right)+\lambda }{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=C_k\right)+S_j\lambda }$$
此时，先验概率变为：
$$P_{\lambda }\left(Y=C_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=C_k\right)+\lambda }{N+K\lambda }$$

可以看到，当 $\lambda =1$ 时，相当于在N个样本的基础上增加了K个样本，并且这K个样本涵盖了每一个类别。

• 其实平滑过程相当于对原始数据集进行一个人为添加噪声的过程， $\lambda$ 越大，可能精度越低
• 朴素贝叶斯假设输入变量都是条件独立的，如果他们之间存在概率依存关系，则模型变成了贝叶斯网络。

3. 朴素贝叶斯的代码实现 [Python]

利用 sklearn 对 Iris dataset 进行一个测试

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB

​# 加载数据
iris = load_iris()
iris.data.shape  # (150, 4)

x = iris.data[:, :-1]
y = iris.target

# 对数据集进行切分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size=0.2, random_state=666)
"""
使用sklearn库实现朴素贝叶斯
"""
Classify = BernoulliNB(alpha=1)
Classify.fit(x_train,y_train)
"""
查看模型的准确率
"""
print("The training accuracy of Naive Bayesian is :",Classify.score(x_train,y_train))
print("The classifying accuracy of Naive Bayesian is :",Classify.score(x_test,y_test))

[Results]:
The training accuracy of Naive Bayesian is : 0.35
The classifying accuracy of Naive Bayesian is : 0.26666666666666666

可见朴素贝叶斯的分类的准确度并不是很高，需要进一步提升，因为Iris 数据集的标签为 0，1，2，3. 则我们想到可以改变 朴素贝叶斯的二值化阈值 （Binarize）来提升性能。

• Sklearn 中的解释为
  binarizefloat or None, default=0.0
  Threshold for binarizing (mapping to booleans) of sample features. If None, input is presumed to already consist of binary vectors.

通过改变 Binarize 的值，其精确度分布为：
可以看到，当以2.5~3之间的数字作为输入 X 的二值化阈值时，此时分类的精确度最高

除了改变参数，把模型换成 高斯朴素贝叶斯（GaussianNB）和多项式贝叶斯（MultinomialNB）试试

gaussian_clf = GaussianNB()
multinomial_clf = MultinomialNB()

gaussian_clf.fit(x_train, y_train)
multinomial_clf.fit(x_train, y_train)

print("The training accuracy of Gaussian is :",gaussian_clf.score(x_test,y_test))
print("The training accuracy of Multinomial is :",multinomial_clf.score(x_test,y_test))

[Results]:
The training accuracy of Gaussian is : 0.9666666666666667
The training accuracy of Multinomial is : 0.7666666666666667

可以看到 高斯朴素贝叶斯（GaussianNB）和多项式贝叶斯（MultinomialNB）效果均比 Naive Bayesian 好, 其原因可能为：

• 高斯朴素贝叶斯（GaussianNB）： 适用于处理连续型变量，因此精度可能更高
• 多项式贝叶斯（MultinomialNB）： 适用于处理离散型变量
• 朴素贝叶斯: 适合处理布尔类型的二进制变量（离散）