二阶系统响应指标图_一阶系统和二阶系统，了解一下！！！

自控前两章的学习主要是打基础，到了第三章才真正开始了自控这门课的核心内容。在前两章建立起系统模型后，接下来要进行的就是认识系统——即分析系统的性能指标，第三章介绍了三种方法中的第一种——时域分析法。

我们首先要明确本章讲了哪些内容。

时域方法是最基本的方法，也是我们在分析时最先想到的方法，它可以直接提供系统时间响应内的所有内容，直观且明确，但是也有它的缺点，那就是这一方法必须要基于求解系统输出的解析法，过程很是繁琐，这一局限性也就决定了应用时域法进行分析的系统阶数不能太高，所以本章我们研究对象只有一阶系统和二阶系统，其中二阶系统是研究的重点。

接下来分别给出一阶系统和二阶系统典型结构和其性能指标的定义，对系统输入典型输入信号，研究对应响应的情况，在这其中，最重点的是二阶系统的阶跃响应，其余的响应仅作了解即可。注意到性能指标只能定量的描述一个系统响应的情况，考虑前面所提到的对于一个系统的基本要求：“稳、准、快”。其中“快”——动态性能；“稳”——基本要求；“准”——稳态要求，往后的内容都是围绕这三个字。对于“快”，其实就是系统的性能指标，对于“稳”，时域法介绍了赫尔维玆判据和劳斯判据，对于“准”，介绍了稳态误差还有校正方法。以上就是本章的知识结构，接下来我们来一一介绍。

NO.1 一阶系统

我们从最简单的一阶系统说起，以下是一阶系统的典型结构：

一阶系统中，只有特征参数：时间常数T。

虽然有五个典型输入信号，但一般我们只研究阶跃输入对应的响应，我们把阶跃信号称为“标准输入”，其单位阶跃响应曲线如下：

对于一阶系统，对应的性能指标有两个：上升时间

和调节时间

。

1.上升时间

从终值的10%上升到终值的90%所用的时间。(此定义式基于非振荡的动态过程，要区别于后续的振荡动态过程)。在一阶系统单位阶跃曲线上表示如下：

2.调节时间

指第一次进入误差带且信号以后都不出误差带的时间。在响应曲线上表示为：

注意:如上图，调节时间不是到A点的时间，因为曲线在A点以后还有出了误差带的部分。而B点以后曲线再也不出误差带，所以调节时间应该为到B点的时间。

因为一阶系统的响应是单调的，并没有振荡，所以在一阶系统中，并没有超调量的概念，因为响应曲线没有超出稳态值的部分。

在一阶系统求解对于五种输入信号时对应的响应时，虽然这部分只做了解，但这一求解过程中要求掌握一个重要的计算方法：留数定理。该种方法其实就是用来分解部分分式的，通式为：

接下来我们以求一阶系统的单位斜坡响应的过程来说明留数定理怎么用：

一阶系统单位阶跃响应为

将上试分解为部分分式：

注意重根分解后的列写，还有C1、C2、C3分别为谁的分子。

接下来就用留数定理来求C1、C2、C3，如下：有重根

，先算重根

重数r=2，首先要算通式中s1是啥，s1为对应分母为0时的解，重根部分即为

，

则有s1=0，再后确定j，带入通式计算，为下：

(1)要算C2，则使j=0，有

(2)要算C1，则使j=1，有

2.无重根部分

先求s1，令无重根部分分母TS+1=0，则s1=-1\T，这部分不要记通式，很简单，就是

此题即为

注意：无重根部分最简单，不用通式计算，直接用“2”的小公式就行；有重根的带入通式计算，搞清楚r、j、s1，一般最高也就计算到重根为3.留数定理在后续的离散系统部分会经常使用，所以今天着重讲了一下。(大家可以试着计算一下一阶系统的单位阶跃响应)。

NO.2 二阶系统

接下来聊一聊本章着重讲解的二阶系统，以下是二阶系统的典型结构：

系统的时间响应过程分为两个部分：动态过程和稳态过程。

动态过程：系统在典型输入信号作用下，初始量从初始状态到最终状态的响应过程。稳定系统的动态过程必定是衰减的。

稳态过程：典型输入作用下，时间趋于无穷时输出量的表现形态。

这两个过程都有其对应的性能指标，下面分别来看其性能指标为什么：

动态性能指标：

我们从二阶系统的单位阶跃响应曲线中来看，指标共有五个。

也就是共有四个关于时间的指标，还有一个指标是超调量。在这些指标中调节时间和超调量定义和一阶系统中的一致，我们来介绍一下剩下的三个。

延迟时间td：第一次到达其峰值一半时所用的时间。

对于以上的五个性能指标，我们还需要知道以下的内容：(我们把td、tr、tp、超调量定义为一组；把ts定义为二组)

(1)一号组的指标都是确定的，ts是不确定的，其与误差带的选取有关。

(2)一号组指标描述的是动态的过程，并且是动态开始的部分。

ts描述作用是双重的：不仅描述动态过程的长短，而且描述静态过程在越过ts后是稳的还是不稳的。

超调量描述的是系统的阻尼程度。(可以理解为物理中的阻力，其和峰值有关)。

稳态性能指标：

用稳态误差来描述，是系统的抗干扰精度或者抗干扰能力的一种度量。

我们知道，极点在s域中的分布决定了系统是否稳定，即极点位于s域左半平面时(不含在实轴的点)，系统稳定(可以用极点实数部分正负来表示)。

所以在分析二阶系统的单位阶跃响应前先将系统分类，我们用闭环传递函数来研究系统的极点，先来求系统的极点，使系统的特征方程为0(也就是闭环传递函数的分母多项式为0)，解得系统的根为：

阻尼比的范围决定了极点在s域中的位置，所以进而将阻尼比和系统的阻尼程度挂钩，将二阶系统分为以下几类，并且画出对应的单位阶跃响应曲线(这部分一定要牢牢记忆)：

(1)

极点在s域中分布和对应响应曲线分别如下：

(2)

(3)

(4)

(5)-1" />

此时响应曲线是振荡发散的。

(6)阻尼比" />

此时响应曲线是没有振荡的发散。(和上面的曲线区分开)

虽然二阶系统有以上那么多种，输入信号也有五种，但是我们只着重研究一种情况，那就是“欠阻尼二阶系统的单位系统阶跃响应”，这一部分内容有很多公式需要记忆。

以下的式子必须牢牢记忆：

响应C(t)=

根据以上公式，可以发现，只要知道了阻尼比和自然频率，所以的性能指标就知道了，所以对于这部分的题，一般会已知峰值时间和超调量，进而求出阻尼比和自然频率，再让你求其余指标，所以要会由超调量求阻尼比的公式，还有根据峰值时间求自然频率的公式，公式如下(在做题中特别常用)：

总结：时域分析部分内容比较多，需要我们记忆的东西同样也有很多，今天介绍的这部分内容在考题中考查题型单一，难度不大，记住公式一般就可解决。下一篇文章将介绍需要我们着重理解的“比例——微分控制”和“测速反馈控制”，这部分可就很重要了。

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