统计基础：3.2_假设检验的两类错误
假设检验中的两类错误
- 1、Ⅰ、Ⅱ类错误及其产生的原因
- 2、两类错误的关系以及影响因素
- 3、如何控制两类错误
1、Ⅰ、Ⅱ类错误及其产生的原因
虽然小概率事件发生的概率很小，但依然有可能发生。由于抽样的随机性，利用小概率原理对H0是否成立作为判断时，难免会犯两类错误。
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第一类错误（α错误/弃真错误）：实际上 H 0 H_0 H0为真时,但利用随机抽样样本，构建的小概率事件出现了，作出拒绝 H 0 H_0 H0的决策，即α=P(拒绝 H 0 H_0 H0| H 0 H_0 H0为真)
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第二类错误（β错误/取伪错误）：实际上 H 0 H_0 H0为伪时,但利用随机抽样样本，构建的小概率事件未出现了，作出接受 H 0 H_0 H0的决策，即β=P(接受 H 0 H_0 H0| H 0 H_0 H0为伪)
2、两类错误的关系以及影响因素
- 第一类错误的影响因素
由实际推断原理引起的，即“小概率事件不会发生”的假定所引起的，所以有理由将所有小概率事件发生的概率之和或者即显著性水平（α=0.05）看作α错误发生的概率，换言之，α错误发生的概率为检验所选择的显著性水平。如果是单侧检验，弃真错误的概率则为 α/2。
- 第二类错误的影响因素
通常情况下的做法只是控制犯第一类错误的概率α，而忽略第二类错误的概率β，但有些情况下，第二类错误不可忽视，为了实现对两类错误的控制，需要剖析两类错误的关系以及影响因素。
施行特征函数
定义若C是参数 θ \theta θ某检验问题的一个检验法， β ( θ ) = P θ ( 接 受 H 0 ) \beta(\theta)=P_{\theta}(接受H_0) β(θ)=Pθ(接受H0),称为检验法C的施行特征函数或者OC函数，其图形称为OC曲线。
若假定检验法的显著性水平α，即犯第一类错误的概率为 P θ ∈ H 0 ≤ α ， 则 当 P_{\theta \in H_0}≤α，则当 Pθ∈H0≤α，则当 θ ∈ H 0 \theta \in H_0 θ∈H0时，做出正确判断的概率为： P θ ∈ H 0 ( 接 受 H 0 ) = β ( θ ) P_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta) Pθ∈H0(接受H0)=β(θ) ≥ 1-α；则当$ θ ∈ H 1 \theta \in H_1 θ∈H1时，犯第二类错误的概率为 P θ ∈ H 0 ( 接 受 H 0 ) = β ( θ ) = β P_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta)=\beta Pθ∈H0(接受H0)=β(θ)=β ，做出正确判断的概率为： P θ ∈ H 1 ( 拒 绝 H 0 ) = 1 − β ( θ ) P_{\theta \in H_1}(拒绝H_0)=1-\beta(\theta) Pθ∈H1(拒绝H0)=1−β(θ) 。
在检验的过程中希望α与β都尽可能小，即做出正确判断的概率 P θ ∈ H 0 ( 接 受 H 0 ) = β ( θ ) P_{\theta \in H_0}(接受H_0)=\beta(\theta) Pθ∈H0(接受H0)=β(θ) ≥ 1-α与 P θ ∈ H 1 ( 拒 绝 H 0 ) = 1 − β ( θ ) P_{\theta \in H_1}(拒绝H_0)=1-\beta(\theta) Pθ∈H1(拒绝H0)=1−β(θ)都越大越好，但这种期望能否达到呢？
设总体 X ∼ N ( u , σ 2 ) X\sim N(u,\sigma^2) X∼N(u,σ2),其中u未知，σ已知， X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn是来自X的样本。在显示性水平α下，对u进
行左侧检验：
H 0 : u ≥ u 0 H_0:u≥u_0 H0:u≥u0 vs H 1 : u < u 0 H_1:uH1:u<u0 ，拒绝域 X ˉ − u 0 σ / n ≤ − z α \frac{\bar X-u_0}{\sigma/ \sqrt n}≤-z_α σ/nXˉ−u0≤−zα
此检验的OC函数为：
β ( u ) = P u ( 接 受 H 0 ) = P u ( X ˉ − u 0 σ / n > − z α ) = P u ( X ˉ − u 0 σ / n > − z α − u − u 0 σ / n ) = ϕ ( z α + λ ) \beta(u)=P_u(接受H_0)=P_u(\frac{\bar X-u_0}{\sigma/ \sqrt n}>-z_α)=P_u(\frac{\bar X-u_0}{\sigma/ \sqrt n}>-z_α-\frac{ u-u_0}{\sigma/ \sqrt n})=\phi(z_\alpha+\lambda) β(u)=Pu(接受H0)=Pu(σ/nXˉ−u0>−zα)=Pu(σ/nXˉ−u0>−zα−σ/nu−u0)=ϕ(zα+λ)
其中， λ = u − u 0 σ / n \lambda=\frac{ u-u_0}{\sigma/ \sqrt n} λ=σ/nu−u0,其OC曲线如图所示：
β ( u ) \beta(u) β(u)函数性质如下：
- 是 λ \lambda λ的连续单调递增函数；
- lim u → ∞ ˉ β ( u ) = 1 \displaystyle\lim_{u \rightarrow \bar \infty}\beta(u)=1 u→∞ˉlimβ(u)=1, lim u → u 0 β ( u ) = 1 − α \displaystyle\lim_{u \rightarrow u_0}\beta(u)=1-\alpha u→u0limβ(u)=1−α
由检验的OC函数，β(u)可知， β = P u < u 0 ( 接 受 H 0 ) = ϕ ( z α + u − u 0 σ / n ) β=P_{u
- 显著性水平α
由分布函数的性质以及正态分布上的α分位可知，当其它条件不变时，α大，则β小；反之α小，必导致β大。故犯两类错误的概率α于β存在“此消彼长”的关系。
- u的真实值
由OC函数的性质， lim u → u ˉ 0 β ( u ) = 1 − α \displaystyle\lim_{u \rightarrow \bar u_0}\beta(u)=1-\alpha u→uˉ0limβ(u)=1−α可知，当u的真实值趋于 u ˉ 0 \bar u_0 uˉ0时，不管其它量如何变化，只要α取值较小，β几乎等于1-α。即对所有的 u ∈ H 1 u\in H_1 u∈H1,控制 β = P u ∈ H 1 ( 接 受 H 0 ) \beta=P_{u\in H_1}(接受H_0) β=Pu∈H1(接受H0)都很小是不可能实现的。只有当u与u0的差距较大时，方可有办法将β控制在一定范围之内。
- 总体标准差σ
σ是离散趋势的主要度量指标，σ越大，抽取的随机样本的代表性相对较差，由 β = P u < u 0 ( 接 受 H 0 ) = ϕ ( z α + u − u 0 σ / n ) β=P_{u
- 样本容量n
样本容量n越大，抽选的随机样本所提供的有关总体的信息越多。由 β = P u < u 0 ( 接 受 H 0 ) = ϕ ( z α + u − u 0 σ / n ) β=P_{u
犯β错误的概率的计算是比较复杂的，由于β错误的出现原因是属于逻辑上的，所以在总体参数不知道的情况下是无法计算它出现概率的大小的。
3、如何控制两类错误
犯第一类错误的概率 α \alpha α可以通过适当改变检验的拒绝域来进行调整。
由上文可知，β的大小与显著性水平α、u的真实值、总体标准差σ、样本容量n有关。这四个因素中，u未知，σ通常已知，因此没有办法通过这两个因素来有效控制β；在一定条件下，显著性水平σ与β存在“此消彼长”的关系，并且β是样本容量n的减函数，但是即使增大α或者增大n,也无法实现对β量化。一般情况下，无法直接控制β，但是可以通过间接的措施达到对β的控制的目的。
结合假设检验的基本思想，H0与H1的不对等性、假设检验的目的以及检验结果的解释，具体措施入如下：
- 巧妙建立假设
成功的假设检验策略，以拒绝H0为检验目的，假设检验只能证明H0的伪，而不能证明H0的真。因此，在假设的建立过程中要谨慎小心。一般把传统的，原始的观念设立为H0;H0中应包含等号；后果严重的错误设定为第一类错误
- 谨慎解释检验的结果
检验统计量的观测值落入接受域，仅仅表明所构建的小概率事件没有发生，但是不能证实其它与H0相矛盾的小概率事件不发生。因此，但检验统计量的观测值落入接受域时，不能断定认为H0是正确的，此时犯第二类错误的概率β是未知。此时把检验的结果严谨解释为“没有发现充足的证据拒绝H0”。
- 恰当设置显著性水平α
不一味的追求α尽可能小，结合具体的问题仔细斟酌两类错误后果的严重性。若第一类错误的后面比较严重（判断一个人是否患病），而第二类错误的后果无足轻重，则可以选择较小的α；否则，需要放大α的取值；