克拉克变换(Clarke Transformation)

摘要

三相系统中的电压、电流等状态变量存在不同程度的耦合，通过三相坐标变换可以将耦合的对称三相系统解耦为可以独立控制的两相系统，从而降低控制器设计的复杂程度。

本文采用立体几何的分析方式，将三相系统中的状态变量映射至静止三维欧式空间，然后以电压矢量为例，将静止三维空间中的状态变量投影至静止二维坐标系，随后将二维平面上的状态变量进行正交化，验证得到了在不丢失有用信息的条件下将三维坐标转换为二维坐标的克拉克变换矩阵的初级形式。

最后，本文根据克拉克变换矩阵的初级形式推导了克拉克等幅值变换和等功率变换两种具体形式。

克拉克变换推导

在三维欧式空间中建立互相垂直的三相坐标轴$oa$,$ob$,$oc$，理论上位于这三个坐标轴上的基向量线性无关，因此$abc$坐标系上的一组基向量可以表示三维空间中的任意矢量。

在一个对称的三相系统中，考虑三相四线制的情况时，电路中的ABC三相是相互解耦的，因此可独立映射至由$oa$,$ob$,$oc$三轴构建的三维欧式空间中；对于三相三线制的情况，三相状态变量如电压$u$、电流$i$是线性相关的。例如，对于相电压$U_a,U_b,U_c$和线电流$I_a,I_b,I_c$，分别满足
$$\begin{gathered} U_a+U_b+U_c=0 \\ {I}_a+I_b+I_c=0 \end{gathered}$$
因此此时的三相系统可以退化映射至两维空间中。

总结可知，三维欧式空间可以完全描述一个三相系统。本文讨论的克拉克变化基于三维欧式空间进行，可将一个对称的三相系统降维至二维空间，从而简化三相系统的控制。

空间降维

如下图中的红色线条所标注，利用一个立方体作为参考，将其相邻的三条边$oa$，$ob$,$oc$延展后作为$oa$，$ob$,$oc$三轴。立方体的一个顶角置于整个立方体的最底端，整个立方体呈中心对称放置，从几何上可知此时立方体的一条体对角线$o{o}^{{}^{\prime }}$与最底端顶角所在的水平面垂直。

以三相系统中的状态变量电压U为例,将其三相分量映射至由$oa$,$ob$,$oc$三轴构建的欧式空间中，然后，将三维欧式空间中的三相电压矢量$U_a$，$U_b$，$U_c$投影至与$o{o}^{{}^{\prime }}$垂直的二维平面上，设三相电压矢量在平面内的投影分别为$U_{a^{{}^{\prime }}}$，$U_{b^{{}^{\prime }}}$，$U_{c^{{}^{\prime }}}$，得到此时的投影矢量图如下图所示。

以$a$相为例，为便于分析，将三维坐标系中的关键矢量抽取至二维平面，见下图。
由图中的几何关系可知，电压矢量从$oa$，$ob$，$oc$三维空间映射至$o{a}^{{}^{\prime }}$，$o{b}^{{}^{\prime }}$,$o{c}^{{}^{\prime }}$所在的二维平面时满足以下关系：
$$\begin{gathered} \left|U_{a^{{}^{\prime }}}\right|=k_1\left|U_a\right|\sin \theta \\ \left|U_{b^{{}^{\prime }}}\right|=k_1\left|U_b\right|\sin \theta \\ \left|U_{c^{{}^{\prime }}}\right|=k_1\left|U_c\right|\sin \theta \end{gathered}$$
其中$k_1$代表本次降维操作中坐标轴之间的伸缩率，从图\ref{fig:projectionGain}中的平面展开图可知$\sin \theta =\sqrt{\frac{2}{3}}$。

经过此次投影，三维空间中的基矢量$oa$，$ob$，$oc$退化至二维平面上线性相关的三个矢量$o{a}^{{}^{\prime }}$，$o{b}^{{}^{\prime }}$，$o{c}^{{}^{\prime }}$，对于一个对称的三相系统，三相电压矢量在与底面垂直的维度$o{o}^{{}^{\prime }}$上的矢量和为零矢量。

$$\left|U_0\right|=k_1(\left|U_a\right|+\left|U_b\right|+\left|U_c\right|)=0$$

因此本次降维操作并没有损失有用信息，这也是采用克拉克变换可以简化分析的根本原因。

二维空间矢量的正交化

经过第一节的矢量降维运算，此时的三相电压已经映射至一个固定平面，而对于一个二维平面，采用一组包含两个基向量的坐标系便可以完全描述此平面上的状态，设此时的基向量分别为$o\alpha$和$o\beta$，为避免引入额外的相角差，假设$o\alpha$向量与$o{a}^{{}^{\prime }}$向量指向同一方向，此时坐标轴$o{a}^{{}^{\prime }},o{b}^{{}^{\prime }},o{c}^{{}^{\prime }}\to o\alpha ,o\beta$的伸缩率为$k_2$，见下图 。
在$\alpha \beta 0$平面上进行矢量合成与正交化，可以得到电压矢量在$o\alpha ,o\beta$两轴上的分量$U_{\alpha }$和$U_{\beta }$：
$$\begin{gathered} \left|U_{\alpha }\right|=k_2(\left|U_{a^{{}^{\prime }}}\right|-\frac{1}{2}\left|U_{b^{{}^{\prime }}}\right|-\frac{1}{2}\left|U_{c^{{}^{\prime }}}\right|) \\ \left|U_{\beta }\right|=k_2(\frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_{b^{{}^{\prime }}}\right|-\frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_{c^{{}^{\prime }}}\right|) \end{gathered}$$

克拉克变换的数学形式

克拉克变换初级形式

通过前面两节的分析，可以知道三维欧式空间 中的三相电压矢量映射至$\alpha \beta 0$空间时将满足：
$$\begin{gathered} \left|U_{\alpha }\right|=k_1{k}_2\sin \theta (\left|U_a\right|-\frac{1}{2}\left|U_b\right|-\frac{1}{2}\left|U_c\right|) \\ \left|U_{\beta }\right|=k_1{k}_2\sin \theta (\frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_b\right|-\frac{\sqrt{3}}{2}\left|U_c\right|) \end{gathered}$$
将上式表示为矩阵的形式：
$$\left[\begin{array}{c}{U}_{\alpha }\\ U_{\beta }\\ U_0\end{array}\right]=k_1{k}_2\sin \theta \left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{k_2\sin \theta }& \frac{1}{k_2\sin \theta }& \frac{1}{k_2\sin \theta }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{U}_a\\ U_b\\ U_c\end{array}\right]$$

用$T_{abc/\alpha \beta }$表示此变换矩阵：

$$T_{abc/\alpha \beta }=k_1{k}_2\sin \theta \left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{k_2\sin \theta }& \frac{1}{k_2\sin \theta }& \frac{1}{k_2\sin \theta }\end{array}\right]$$

矩阵$T_{abc/\alpha \beta }$即为克拉克变换矩阵。

三相电压由$abc$坐标系变换至$\alpha \beta 0$坐标系时经过了两次坐标轴尺度的伸缩，不同的伸缩率适用于不同的场合。

不同形式的克拉克变换

对于一个三相对称的系统，其三相电压的表达式为
$$\begin{gathered} U_a=V\cos (\omega t) \\ {U}_b=V\cos (\omega t-\frac{2}{3}\pi ) \\ {U}_c=V\cos (\omega t+\frac{2}{3}\pi ) \end{gathered}$$

将三相电压的表达式\ref{Uabc}代入到式\ref{abc-alphabeta}中可以得到
$$\begin{gathered} U_{alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}{k}_1{k}_{2}V\cos \omega t \\ {U}_{beta}=\sqrt{\frac{3}{2}}{k}_1{k}_{2}V\sin \omega t \end{gathered}$$
在经过克拉克变换后保持状态变量**{幅值不变}**的场合，需满足以下表达式:

$$\sqrt{\frac{3}{2}}{k}_1{k}_{2}V=V$$

从而有：
$$k_1{k}_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

此时的克拉克变换矩阵为
$$T_{abc/\alpha \beta }=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{k_2\sin \theta }& \frac{1}{k_2\sin \theta }& \frac{1}{k_2\sin \theta }\end{array}\right]$$

令$k=\frac{1}{k_2\sin \theta }$，得到此时克拉克变换的逆矩阵为
$$T_{abc/\alpha \beta }^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -\frac{1}{2k}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2k}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2k}\end{array}\right]$$

为了使得$T_{abc/\alpha \beta }$的逆矩阵$T_{abc/\alpha \beta }^{-1}$与其转置矩阵$T_{abc/\alpha \beta }^T$之间存在易于表达的数学关系，可令
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{2k}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2k}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2k}\end{array}\right]$$

=

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& k\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& k\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}& k\end{array}\right]$$

此时$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$T_{abc/\alpha \beta }^{-1}=\frac{2}{3}{T}_{abc/\alpha \beta }^T$，最终得到幅值不变的克拉克变换矩阵：

$$T_{abc/\alpha \beta }=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$

针对需要在经过克拉克变换后保持\textbf{功率不变}的场合，仍以电压状态矢量为例， 变换前后功率不变需要满足以下条件：

$$U_{alpha}^2+U_{beta}^2=U_a^2+U_b^2+U_c^2$$

将$U_{alpha}$和$U_{beta}$的表达式代入上式可以得到
$$k_1{k}_2=1$$

从而此时的克拉克变换矩阵为
$$T_{abc/\alpha \beta }=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{k_2\sin \theta }& \frac{1}{k_2\sin \theta }& \frac{1}{k_2\sin \theta }\end{array}\right]$$

令$k=\frac{1}{k_2\sin \theta }$，得到克拉克变换矩阵的逆矩阵为

$$T_{abc/\alpha \beta }=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{2k}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2k}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2k}\end{array}\right]$$

同样为了使得$T_{abc/\alpha \beta }$的逆矩阵$T_{abc/\alpha \beta }^{-1}$与其转置矩阵$T_{abc/\alpha \beta }^T$之间存在易于表达的数学关系，可令$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时$T_{abc/\alpha \beta }^{-1}=T_{abc/\alpha \beta }^T$，最终得到功率不变的克拉克变换矩阵为
$$T_{abc/\alpha \beta }=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$

至此，幅值不变与功率不变克拉克变换的推导全部完成。

全文总结

本文从立体几何的角度对克拉克变换进行了理论上的推导，并根据不同场合的要求得到了幅值不变和功率不变两种克拉克变换形式，克拉克变换在空间矢量调制中应用颇多，但是很多场合都与派克变换联合使用，本文为了突出重点，故而省略了关于派克变换的推导。

空间变换的思想对于科研来说是十分有益的，在傅里叶变换与深度学习中都有涉及，故而利用本次克拉克变换推导来建立一种问题转换的思想比起这个问题本身要更为重要。