粒子群优化算法求函数最小值

1.算法简介

粒子群算法（简称PSO）是一种有效的全局寻优算法，最早由美国的Kennedy和Eberhart于1995年提出。基于群体智能理论的优化算法，通过个体之间的协作和信息共享来寻找最优解，具有“自我”学习提高和向“他人”学习的优点，被广泛应用于函数优化、数据挖掘、神经网络训练等领域。
算法模拟鸟群的捕食行为 假设一群鸟在随机搜索食物，在这个区域里只有一块食物（最优解），所有的鸟都不知道食物在那里，在搜索过程中，通过相互传递各自的信息，让其他鸟知道自己的位置，通过这样的协作判断自己找到的是不是最优解，同时也将自己的最优解传递给整个鸟群。最终，整个鸟群都聚集在食物周围，即找到最优解 问题收敛。
问题抽象 鸟被抽象为没有质量和体积的粒子，并延伸到N维空间，粒子i在N维空间的位置表示为矢量Xi=（X1,X2,X3……Xn），飞行速度表示为矢量Vi=（V1,V2,V3……Vn）。每个粒子都有一个由目标函数决定的适应度值，并且知道自己到目前为止发现的最好位置，这个可以看作是粒子自己的飞行经验。除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置，这个可以看作是粒子同伴的经验。粒子就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运动。

2.流程图及算法实现

其中，终止条件：
1）达到最大迭代次数
2）相邻两代之间的偏差在一定范围内

主要公式：

vid →第i个粒子在第t+1次迭代中第d维的速度
动态w能获得比固定值更好的寻优结果（w减小→全局寻优能力减弱，局部寻优增强）

3.具体代码实现

问题描述：用粒子群优化算法求以下测试函数最小值

records=zeros(1,maxgeneration);
%% 粒子初始化
for i = 1:popsize
    pop(i,:) = (popmax-popmin)*rand(1,dim)+popmin;   
    V(i,:) = (Vmax-Vmin)*rand(1,dim)+Vmin;      
    fitness(i) = fun_fitness(pop(i,:));  
end
%% 更新个体极值和群体极值
p_bestposition = pop;  
p_bestfitness = fitness;   
[bestfitness, bestindex] = min(fitness); 
g_bestposition = pop(bestindex,:);   
g_bestfitness = bestfitness;   
%% 迭代
for i = 1:maxgeneration
    %更新惯性权重
    w=Wmax-i*(Wmax-Wmin)/maxgeneration;
    for j = 1:popsize
        % 更新速度
        V(j,:) = w*V(j,:) + c1*rand*(p_bestposition(j,:) - pop(j,:)) + c2*rand*(g_bestposition - pop(j,:));
        V(j,V(j,:)>Vmax) = Vmax;  
        V(j,V(j,:)popmax) = popmax;
        pop(j,pop(j,:)

测试函数：

function [y] = fun_fitness(x)
    y=100*(x(1)^2-x(2))^2+(1-x(1))^2;
end

运行得到的适应度变化曲线：