中国剩余定理(Python实现)

说明
这是某电网信院的密码学实验2

一、实验目的（包括实验环境、实现目标等等）

1、实验环境：

• Windows11
• PyCharm2019.3.3 x64

2、实现目标：

• 通过编写代码实现中国剩余定理，加深对中国剩余定理的理解，体会该算法在解决实际问题的价值；
• 将密码学和数学知识相联系，并灵活运用到密码学的设计方案中；
• 提高实践能力和逻辑思维能力

二、方案设计（包括背景、原理、必要的公式、图表、算法步骤等等）

1、背景

这个定理又叫孙子定理，问题的提出最早在南北朝的《孙子兵法算经》里：“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

2、原理

中国剩余定理：

3、算法步骤

三、方案实现（包括算法流程图、主要函数的介绍、算法实现的主要代码等等）

1、流程图：

2、主要函数：

（1）math.gcd(a,b)：利用math模块的gcd函数求两个整数的最大公约数，如果两个数的最大公约数为1，说明这两个数互素。
（2）Get_Mi()：自定义函数，求所有Mi。
（3）Get_resMi()：自定义函数，求所有Mi的逆元。
（4）result()：利用中国剩余定理计算，返回计算结果x。
（5）说明：代码主要用列表来记录中间的计算值和用户的输入值。

3、Python代码：

import math


def Get_Mi(m_list, m):
    M_list = []
    for mi in m_list:
        M_list.append(m // mi)
    return M_list


def Get_resMi(M_list, m_list):
    resM_list = []
    for i in range(len(M_list)):
        resM_list.append(Get_ni(M_list[i], m_list[i])[0])
    return resM_list


def Get_ni(a, b):
    if b == 0:
        x = 1
        y = 0
        q = a
        return x, y, q
    ret = Get_ni(b, a % b)
    x = ret[0]
    y = ret[1]
    q = ret[2]
    temp = x
    x = y
    y = temp - a // b * y
    return x, y, q


def result(a_list, m_list):
    for i in range(len(m_list)):
        for j in range(i + 1, len(m_list)):
            if 1 != math.gcd(m_list[i], m_list[j]):
                print("不能直接利用中国剩余定理")
                return
    m = 1
    for mi in m_list:
        m *= mi
    Mi_list = Get_Mi(m_list, m)
    Mi_inverse = Get_resMi(Mi_list, m_list)
    x = 0
    for i in range(len(a_list)):
        x += Mi_list[i] * Mi_inverse[i] * a_list[i]
        x %= m
    return x


if __name__ == '__main__':
    print("请输入ai，以逗号分隔：")
    a_list = list(map(int, input().split(",")))
    print("请输入mi，以逗号分隔：")
    m_list = list(map(int, input().split(",")))
    print("最终结果为：")
    print(result(a_list, m_list))

四、数据分析(包括算法测试数据的分析，运行结果截图等等)

1、数据1如下：

6280258886892748634510684834296247689424750823228354964160873376765560927915079545499575080926643252043513075581338938780210530201651149065459075478297277788632711131392808177265297439703089763909138271911063920511008763414512745717273222737303967477
2736455869987068844584034882444748612965398275988826044932737248592878515276968779821471672366818284147603550093051571475753154039709010825232379058045334742208275432609121820269662549238034880323083843369151525570918813848018286858914177008224217206
8665126284864072440947476564232984766333105693011561831898491426661651434340473891198905931381862265805424160730440725550800572483330354664557524172011914157644900357295071162702239552997535972800970708461746430958035283032573132400329945780527723417
609916182836072484510697159537216800485064532931203818192093495124315918904439014622612727220476235725126553345875741633730843866349537244461426321686087680899484019494078852071610347391771997488392342853457097016366707737987999959109863373656950889794421097435800768714724065649675835948070598583722
609916182836072484510697159537216800485064532931203818192093495124315918904439014622612727220476235725126553345875741633730843866349537244461426321686087680899484019494078852071610347391771997488392342853457097016366707737987999959109863373656950889794421097435800768714724065649675835948070598583722
407126738349599334657470858931171583281602505536465495530791442859387960980187708107744781025700247140792608003156364489978288333356567794926123496028029668907918489320256438631771516315239465357990150358440476827564338763951213110570335391415231761148217699293807010375389912306536017206927462681523

输入的mi并不是两两互素的，所以不能直接利用中国剩余定理，运行结果如下：

2、数据3如下：

5963533518323759992554607177430867358486851282034825468613195536233474229748227497105997065615017822867937430259877578637549250133081396303549824197515580096551093277283532310046598789715143661789924175678686515394584704002698912400360544349584105053
7452147498938949476823918277259388511208314795517506630131639522869476931664319331999287065159813243159220658294359000834379144325299074839188183145751865959915395944123238452146817998590504704409144177253981983496408422851304571062742872070053597781
9791553188843350711911320803153869584042064903057744938846414791049993340267839296583573667229339667423378978993973059594193467223787912526408229270166113282331353592137037653549309808543886438135335025330344634355726311631692287157836010187549697033
736026894520013145053959893041907103801786277875074808043094679021048591904886572241063599195186281186045410287408340438501951106621035951386659621670588327954137474402459141720940937736412438057497469266151389553294232028234435749687861420081325499806705696003250405278239467097419352576463355243047
822133543134400325816236583808204657546644575118717165226138158817090803490095076646561687767071855511032867989547540228102384603044671232082169916159817973775601566972952016094980712601001651606854901098178067592170128901984368176059683470221479398450343749445851362633660071533865039629449293643181
666862214073229347457363746613972922639274081936663778780666180616990715201034304434823629318786074033107938413965200245547739283841506412360219950769580551911651386910043030289964724519173587731635947680115173597573559458235634593301646388624380695138506650044135228891892580966398311773634400428043

输入的mi两两互素，所以可以利用中国剩余定理求出x，运行结果如下：

3、数据2如下(读者可以在自己电脑上运行观察结果)：

1703400778910483820422805008255510202952780108580687282406204991102977355497819362037336119731002913846662180847077020740236290693493738835482271882051497287782803150523222405080338334271801792866482004568188646373815031989672512987923656390452397739
2724305591776277437698018538336328525368755596343722369278379045862095348399405909803531445622923586434858075923794289199772931203020662107251938261421134535489303223863021432862007558144614961478557772158790865755237609603854734189485065702894533007
5054062422109780731533257906013120348277952566924151532670827347964065027024283070553070224352222147708139041781535542580186174743209933967784491580267630649415317930613025621277091068103021482556687957739478553608686399952265973926562315865941811106
529012089683106027540972464242844528071743673743373492337127252712791226562406546874415951553948390892712915241165589135143177845694531817071616643290537045923226008758702728170159550568805907850622424020015265726841001559668865110779486144192282420641364473883446730980837401121533551908678272444684
543215757827618377203473258275047104979822158102404878687148537849799550247381564365578590422056394278257158069356234349542268988578552880243969652244111766224512688426426706878276641902193985933655384799228976467016700686667749302166453794272633505983640121880738193066243430412939374407346361018673
910409201715205002347478646685130446423660152260507358434979331439581396068284694915012061028789908792252336550127518559297299352963181057834931040933258962452367236215393076418627949218921266472636232832254258117915197059091231844804196176368468920201615703783443596364327788081668519651744410101292

4、数据4如下(读者可以在自己电脑上运行观察结果)：

8695039453824585971327803091640327439264591005655488011745393293145693657952152999306407259261770227769126705900977747911851437578989508123510979745347100821709337665424897266934977753636498274478498325810960608950295083895917256121194946489862590531
2843586888776659243226129768596946248650199985912875849363349934062940237054802099741704753655572936241294947678141581242450053030988467105995226180947812728014932325811696214659355368088498823535203466513124053882630083938669706033914334272897725827
7823172232329967143253080336216473133559059471949452135263320655253223177876623709115617602222829735561588048570850030793579858516821809715240795109686396100253463538575629486987673937099056108251105593664390258183737270501095307514377495715221620851
116017853623276268534139398907929878877787793651980551492831128460152265817955210396589291631422367361262415115121837412178585592287169858210020969161771830842579745360462792019608011639872984330943977063269966943474772865114131255717447905531474229802532044068660360456893054575436566915238490309883
512447157769228304131256323740835904819759921673225154827094436771226096325013237418054628602994336075764089916228418424306832707597853204209771112842072708289338794604081011427030629039302332957025365167149233660135959038245478352895374943727331531173885009715832998171386546136367093686989913049831
969850455230698192652261474515788687418941545125366868561633605148672698351493104516166153304063487537678627945130392397105464048856577407056079471349982831692582998623711436409450154130174976181809303563157487873504380599234293660083773732553256060917095555110841495582128346683005794423459984157739

五、思考与总结