0-1背包dp问题

问题描述：

给定n种物品和一背包。物品i的体积是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
注：物品只能选择不装或者装入背包，而不分切一小部分装入，即0或者1。因此，0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。
形式化描述：
输入：C > 0, wi > 0, vi > 0, 1≤ i ≤ n；
输出：(x1, x2, …, xn)，xi∈{0, 1}，使得∑1≤i≤n vi·xi最大。

（1）描述0-1背包问题的最优子结构，并利用“剪切-粘贴”技术证明；
（2）利用最优子结构，写出原问题最优解的递归表达式；
（3）利用自底向上的方法计算最优解的值和最优解，用伪代码进行描述，并分析算法的时间复杂度；
（4）用高级编程语言实现（3）中的求解0-1背包问题的动态规划算法，并通过问题实例测试程序，对运行结果截图。

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0-1背包问题是很典型的动态规划问题，若对背包的限定条件再加上重量限制等又可变为二重0-1背包问题，但是万变不离其宗。
二重0-1背包问题：https://blog.csdn.net/worthyyyou/article/details/112846886
一重0-1背包问题：https://blog.csdn.net/qq_50985215/article/details/125879917

本笔记是算法导论实验的粗略版本，有空时更改更好的排版。尽量按照算法导论书上四个步骤来解答，只是将leetcode上那种状态转移方程式等术语用算法导论的术语表达。

1.最优子结构

首先看原问题，是个典型的0-1规划问题，数学描述如下：
$$\begin{gathered} 目标：max\sum _{i=1}^n{v}_i{x}_i \\ 约束条件：\{\begin{array}{l}{\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i\le C\\ x_i\in \{0,1\},1\le i\le n\end{array} \end{gathered}$$

子问题：
$$\begin{gathered} 目标：max\sum _{t=1}^i{v}_t{x}_t \\ 约束条件：\{\begin{array}{l}{\sum }_{t=1}^i{w}_t{x}_t\le j\\ x_t\in \{0,1\},1\le t\le i\end{array} \end{gathered}$$

利用“剪切-粘贴”证明最优子结构性：

暂略，有空补（不难，根据ppt上照搬）

2.递归定义最优解的值

最优值记为m(i,j)，为背包容量为j，可选择物品为1，2，，，i是0-1背包问题的最优解。递归式如下：
$$m(i,j)=\{\begin{array}{l}max\{m(i-1,j),m(i-1,j-w_i)+v_i\},w_i\le j\\ m(i-1,j),0\le j\le w_i\end{array}$$
解释：
当考虑前 i 种物品时，对于第 i 种物品，有两种方法，一种是可以加入背包（条件就是自身体积必须小于当前容量），一种是不能能加入背包（条件是自身容积容量大于限制条件，因此，它的值和考虑前 i - 1种物品的值是一样的 ）。
当可以加入背包时，要考虑两种情况，进而来选出最大值。一种时不加入第 i 种物品时的值，一种是加入第 i 种物品的值，加入i商品的值就等于i的本身的$v_i$值加上第i-1的物品时容量已为 $j-w_i$的最优值。

3.计算最优解的值

采用自底向上的方法

伪代码：
暂略

c++实现：

#include
#include 　
#define MAX 10005
using namespace std;

int maxx(int x,int y){
	if(x <= y){
		return y;
	}
	else{
		return x;
	}
}
 
int backpack_dp(int n,int c,int w[],int v[]){
	int dp[50][50] = { 0 };      //即上面提到的m(i,j)
 
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		for (int j = 1; j <= c; j++){
				if (w[i] <= j){
					dp[i][j] = maxx(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
				}
				else{
					dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				}
		}
	}
	
	cout << "背包能放物品的最大价值为:" << dp[n][c] << endl;

    //构造最优解
	int x[MAX] = { 0 };   //记录是否被选中
	for (i = n; i > 1; i--)
		if (dp[i][c] == dp[i - 1][c])
			x[i] = 0;
		else {
			x[i] = 1; 
			c -= w[i];
		}
		//当dp[1][c]为空值(0)时x[1]为0，不为空值(0)则为1
		x[1] = (dp[1][c]) ? 1 : 0;
		if 
	cout << "被选入背包的物品的编号,体积,价值分别是:" << endl;
	for (i = 1; i< n + 1; i++)
		if (x[i] == 1)
			cout << "第" << i << "个物品:" << w[i] << " " << " " << v[i] << endl;
 
}
int main()
{
	int n, c;
	int w[MAX] = { 0 };   //体积
	int v[MAX] = { 0 };   //价值
	cout << "请输入物品个数:";
	cin >> n;
	cout << "请输入背包的容量:";
	cin >> c;
	cout << "请依次输入各个物品的重量,价值:(共" << n << "个)" << endl;
	for (i = 1; i < n + 1; i++)
	{
		cin >> w[i] >> v[i];
	}
	backpack_dop(n,c,w,v);
	return 0;
}

复杂度：
粗略根据for的嵌套次数得出是$O(n^2)$

4.构造最优解

//构造最优解
	int x[MAX] = { 0 };   //记录是否被选中
	for (i = n; i > 1; i--)
		if (dp[i][c] == dp[i - 1][c])
			x[i] = 0;
		else {
			x[i] = 1; 
			c -= w[i];
		}
		//当dp[1][c]为空值(0)时x[1]为0，不为空值(0)则为1
		x[1] = (dp[1][c]) ? 1 : 0;
		if 
	cout << "被选入背包的物品的编号,体积,价值分别是:" << endl;
	for (i = 1; i< n + 1; i++)
		if (x[i] == 1)
			cout << "第" << i << "个物品:" << w[i] << " " << " " << v[i] << endl;