矩阵分析-线性系统-1 定义、方程组解的表现形式和性质

1. 定义

线性系统（线性方程组）的一般形式如下，其中 是未知数, 是系数,  是常量。

 

线性方程组的列向量形式如下。从这个角落来看，常量b是系数列向量{a1,a2…,an}基于未知数的加权线性组合（linear combination）。这让我们能够利用向量空间（vector spaces）理论来分析问题。例如，系数列向量{a1,a2…,an}所有线性组合的集合称为它们张成的空间。如果在这个空间上仅有唯一的线性组合，那么这个方程有唯一解。

 

线性方程组的矩阵形式。The number of vectors in a basis for the span is now expressed as the rank of the matrix.

 

2. 方程组的解

2.1 几何解释

对于两个变量（x 和 y) 的系统，每个线性等式对应xy-平面上的一条线，线上的点满足此线性公式。对于这个线性系统（线性方程组），它的解必须满足所有线性公式，因此它的解是所有线的交集，从而有三种情况：1）交集是一个点，有唯一解；2）是一条直线，有无穷个解；3）是空集，不存在解。

当有3各变量时，每个线性方程对于一个三维空间上的面。当有n各变量时，每个线性方程对于一个n维空间上的超平面。

                                                                              

                                               图.2变量-2线性公式-唯一解                                                 图。3变量-2线性公式-无穷解

 

2.2 解的表现形式

线性方程组的表现取决于方程组个数和未知数个数：

1）通常，方程个数m<未知数个数n时，有无穷多解，在某些情况下有唯一洗漱解（感知压缩，Compressed Sensing)。这样的系统称为欠定系统（underdetermined system）

2）通常，方程个数m=未知数个数n时，有唯一解。这样的系统称为恰定系统。

3）通常，方程个数m>未知数个数n时，没有解。这样的系统称为超定系统（overdetermined system）。

3. 方程组的性质

3.1 独立性（Independence）

当线性方程组任一个方程都不能从其他方程推导出来时，称线性系统的方程是独立的。此时，每个方程含有变量的新信息。线性方程的独立性等价于线性独立（linear independence）。

例如，下面方程组不独立，因为第3各方程是前两个方程的和，图形如下

                                                                                      

3.2 一致性（Consistency）

当线性方程组中方程的解相同时，称线性系统的方程是一致的。当它们不一致时，导致矛盾，如1=3。

例如，下面方程组不一致，因为它导致6=12。由图可见，这两个不一致的方程对应两个平行线。