MATLAB-S3数值运算

MATLAB的两种基本数值运算方式：矩阵和多项式
【本章要点】

• 向量的创建、引用和基本运算
• 矩阵的创建、引用和基本运算
• 多项式的创建和基本运算
• 应用问题求解

3 向量和矩阵

3.1 向量

向量就是等价于一维数组。

3.1.1 向量的创建和引用

• 直接输入法；
• 冒号输入法：利用：
• linspace法
• logspace法
  【例子】

>>m1=[1 2 3 4 5 6]
>>m1 =[1;2;3]
>>m2 =[1:6]
>>m3 = linspace(1,6,6)
>>m4 = logsapce(1,2,5)

3.1.2 向量的运算

1. 向量的基本运算
   向量可以与常数，与向量做加减乘除。对维度有要求
2. 向量的点积运算–dot
   dot(m1,m2) % 用来求点积
3. 向量的叉积运算—cros函数进行叉积运算
   维度至少有一个为3
4. 向量的混合积运算
   混合积的运算通过dot和cross函数一起来完成。
   dot(m1,cross(m2,m3))

3.2 矩阵

矩阵时线性代数的基本运算单元。通常是含有M行和N列的矩形结构。

3.2.1 矩阵的创建

矩阵主要分为三类：数值矩阵(数值矩阵和复数矩阵)、符号矩阵和特殊矩阵。

• 直接输入法
• M脚本文件生成法
• TXT文本生成法–load加载：类似也可以从excel–xlsread和xlswrite函数完成。
• 特殊矩阵的创建
  eyes():生成单位举证；ones():生成全1矩阵；zeros():全零矩阵；rand()：随机矩阵；

3.2.2 矩阵的操作函数

• 矩阵元素的扩充
• 矩阵元素的删除
• 矩阵元素的修改
• 矩阵元素的数据更换

3.2.3 矩阵元素的引用

matrixName(m.n) % 引用矩阵里的某一元素

3.2.4 矩阵的基本运算

• 矩阵的加减
• 矩阵乘法运算：矩阵相乘运算、矩阵的数乘运算、矩阵的点乘、矩阵的内积、矩阵的叉积、
• 矩阵的卷积和反反卷积运算
• 矩阵的除法运算：矩阵左除和右除、矩阵的点除、
• 矩阵的乘法运算：矩阵的乘方、矩阵的点乘方

3.2.5 矩阵的操作函数

1. 矩阵的转置：行变成列；
   【例子】

M = magic(3);
M;
M'   	% 求转置

2. 矩阵的逆：相乘为单位矩阵
   函数命令：inv；不是所有的矩阵都能求出逆矩阵。矩阵必须是方阵

M=[1 2 0; 2 5 -1 ;4 10 -1]
G=inv(M)	% 求解矩阵的逆矩阵

3. 矩阵的行列式
   函数命令：det; 调用格式：det(M)

M=magic(3)
det(M)

4. 矩阵的秩：求到底几个是基本的
   函数命令：rank 调用格式：rank(M)

M=magic(3)
rank(M)

5. 矩阵的特征值分解
   函数命令：eig 调用格式：eig(M)：返回矩阵的特征值，并以向量形式存放

3.2.5 求解线性方程组

• 线性方程组的一般形式表示如下：AX=B；其中A为线性方程组等式左边各方程式的系数项，X为欲求解的位置项，B为代表线性方程组等式右边的已知项。
• 线性方程组的求解可以分为两类：一类是求方程组的唯一解(即特解)，另一类是求方程组的无穷解(即通解)。通过方程组系数矩阵的秩来判断。
  若系数项矩阵的秩r=n(n为方程组中未知变量的个数)，则有唯一解
  若系数矩阵的秩r 线性方程组的无穷解=对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解。

1. 线性方程组唯一解或特解的解法
   运算规则：X是方程组AX=B的解，其中，A为系数矩阵，B为已知项矩阵的转置。
   两种方法：X = A\B X =inv(A) * B
   【例子】

% 左除法
>>A=[1,-3;1,-1]; B=[1;19];
>>X=A\B
X = 
	28
	9
% 求逆法
>>X = inv(A)*B
X =
	28
	9

2. 齐次线性方程组通解的解法
   函数命令：null 调用格式：null(M),null(M,‘r’)
   函数功能：函数null用来求解零空间，即满足AX=0的解空间，实际上是求出解空间的基础解系，用于获得齐次线性方程组的通解。

• null(M)返回的列向量为方程组正交规范基
• null(M,‘r’) 返回的列向量是方程AX=0的有理基
  【例子】

>>A=[1,-3,-1;1,-1,-19]
A=
	1  -3  -1
	1  -1  -19
>>Z=null(A)
Z= 
	0.9515
	0.3058
	0.0340
>>Z=null(A,'r')
Z=
	28
	9
	1

3. 非齐次线性方程组通解的解法

• 一般解法：【解题步骤】
  判断AX=B是否有解，若有解，进行下一步；是否有唯一解
  求AX=B的一个特解
  求AX=0的通解
  AX=B的通解为：AX=0的通解 + AX=B的一个特解。
  【例子】
  【法一】

% 求解非齐次线性方程通解
>>A=[1 1 -3 -1; 3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]
>>B = [1 4 0]'
>>D = [A B]
>>n=4;
>>RA = rank(A)
RA
>>RD=rank(D)
RD
>>fromat rat 	% 这哥语句是什么意思？没有看懂
>>if RA==RD & RA==n 		% 判断是否有唯一解
		X=A\B
	elseif RA==RD & RA

【法二】rref解法
函数命令：rref 调用格式rref([A B])

>>A = [4 8 -6 2; 1 3 9 5; 5 11 3 7; 3 5 -15 -31]	%创建线性方程组
A
>>B = [1 2 3 -1]'
b
>>D=[A B]
D
>>M=rref(D)	%使用rref方法求解
M

怎么解释M的值的意义，这方面是线性代数的应用

3.3 多项式

在MATLAB中，多项式用行向量表示：P=[a0 a1 a2 a3 … an]，约定多项式以降幂的形式出现。
【示例】

% 从第三章的多项式开始进入代码实践阶段
%% 3.3 多项式
% 多项式的构造
A=[1 2 -3 -4];
PA=poly(A);
PA
PS=poly2sym(PA)

%% 多项式的运算
% 1 多项式的加减运算，用行向量表示
PX=[1 4 -7 -22 24];
PY=[1 -1];
PZ=PX + [0 0 0 PY];
PZ
poly2sym(PZ)
PS=PX-[0 0 0 PY]
poly2sym(PS)

% 2 多项式的乘法 函数命令conv  调用格式conv(px,py)
% 函数功能得到多项式PX和PY的乘积
PX=[1 4 -7 -22 24];
PY=[1 -1];
PS=conv(PX,PY);
PS

% 多项式的除法  函数命令：deconv   调用格式：deconv(PX,PY)
% 结果包括多项式div和余数多项式rest
PX=[1 4 -7 -22 24];
PY=[1 -1];
PZ=deconv(PX,PY)
poly2sym(PZ)

% 多项式微分     函数命令：polyder  调用格式：polyder(PX)
PX=[1 4 -7 -22 24];
poly2sym(PX)
polyder(PX)

% 多项式求根  函数命令：roots  调用格式：roots(px)
PX=[1 4 -7 -22 24]
roots(PX)

% 多项式求值  函数命令：polyval,polyvalm  调用格式：polyval(px,a),polyvalm(px,m)
% 函数功能是：求出当多项式中的变量为某个指定值a时该 多项式的值；而m是指定某个矩阵M时的值
PX=[1 4 -7 -22 24]
polyval(PX,2)

3.4 复数和复数运算

复变函数：复数以及在其基础上发展起来的复变函数分支，解决了许多实数运算无法解决的问题。
复变函数是控制工程的数学基础，MATLAB支持在运算和函数中使用复数或复数矩阵，还支持复变函数运算。

%% 3.4 复数和复数运算
% matlab使用i或者j来代表虚部复数运算，一个复数可以表示为：x=a+bj，其中a称为实部，b称为虚部。
% 1. 构造复数和复数矩阵
x=1+2i;
x
M=[1+2i 3-4i;2-3i 1-i];
M

%% 2. 复数相关运算函数
% 对于复数x=a+bi,Matlab提供了非常丰富的函数来了解负数的实部、虚部、模和辐角等
% 复数的基本运算包括加、减、乘、除可以参考实数的运算函数或运算符号
% 复数相关函数的用法：real:求复数的实部 imag：求复数的虚部  conj：求复数的共轭
% abs:求复数或复数矩阵的模  angle：求复数或复数矩阵的相位角，单位为弧度
x=1-2i;
y=1+3i;
x+y
x-y
x*y
x/y
x\y
real(x)
imag(x)
conj(x)
abs(x)
angle(x)
angle(x)