学习笔记·GNN & GCN

博文介绍

对于初学者来说，GNN还是好理解的，但是对于GCN来说，我刚开始根本不理解其中的卷积从何而来！！ 这篇博文分为两部分，第一部分是我对GNN的理解，第二部分是我个人对GCN中卷积的理解。

GNN

看了B站上up主小淡鸡的视频（视频：传送门）收益匪浅，我认为，GNN的目的就是怎样聚合各节点之间的信息。

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GNN的流程

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聚合

以上图$A$节点为例，$A$的邻居是节点$B,C,D$, 经过一次聚合后：聚合到的信息为：
邻居信息$N=a\times (2,2,2,2,2)+b\times (3,3,3,3,3)+c\times (4,4,4,4,4)$
这里$a,b,c$都是权重参数

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更新

$A=\sigma (W((1,1,1,1,1))+\alpha \times N)$
$\sigma$是激活函数（relu，sigmoid 等）这里有点像普通神经网络的线性层。
$W$是模型需要学习的参数。

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循环

图经过一次聚合后：
$A$有节点$B,C,D$的信息
$B$有节点$A,C$的信息
$C$有节点$A,B,D,E$的信息
$D$有节点$A,C$的信息
$E$有节点$C$的信息
第二次聚合，再以$A$节点为例，此时$A$聚合$C$的时候，$C$中有上一层聚合到的$E$的信息，所以这时$A$获得了二阶邻居$E$的特征。

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GCN

GCN的卷积意义难以理解，我接下来会用图片(image)的卷积来讲解。

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首先看一下公式：$$H^{(l+1)}=\sigma ({\tilde{D}}^{-1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{1/2}{H}^{(l)}{W}^{(l)})$$

这里$A$是邻接矩阵， $\tilde{D}$是$\tilde{A}$的行求和所组成的对角阵, 也就是节点的度矩阵。

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公式推导(物理意义)

先看这个图

该图的邻接矩阵$A$：
$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$$
节点特征值$H^{(l)}$为：
$$\left\{\begin{array}{cc}[0.1& 0.4]\\ [0.2& 0.3]\\ [0.1& 0.2]\end{array}\right\}$$
我们首先看一下$A{H}^{(l)}$是啥：
$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}0.1& 0.4\\ 0.2& 0.3\\ 0.1& 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.2+0.1& 0.3+0.2\\ 0.1& 0.4\\ 0.1& 0.4\end{array}\right]$$
可以看到这做到了汇聚（上一节提到的GNN）的作用
再加上自己的特征值，也就是$\tilde{A}{H}^{(l)}$ （这里$\tilde{A}=A+I$）：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}0.1& 0.4\\ 0.2& 0.3\\ 0.1& 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.1+0.2+0.1& 0.4+0.3+0.2\\ 0.1+0.2& 0.4+0.3\\ 0.1+0.1& 0.4+0.2\end{array}\right]$$
这些矩阵乘法从数学上实现了个节点之间的聚合
Note：公式：$H^{(l+1)}=\sigma ({\tilde{D}}^{-1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{1/2}{H}^{(l)}{W}^{(l)})$中的${\tilde{D}}^{-1/2}$的作用其实是为了归一化

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理解GCN，卷积从何而来

首先， 以两层的特征提取器举例：
$$Z=f(X,A)=softmax(\hat{A}\cdot ReLU(\hat{A}X\cdot W^{(0)})\cdot W^{(1)}))$$

这里$\hat{A}={\tilde{D}}^{-1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{1/2}$， $X$是特征向量， $W$是要学习的参数。

类比图片

我们可以这么理解，如下图，图(graph) 的分类可以近似成 图片(image) 的像素级分类（即对每个像素(节点)进行分类）

• 每个节点代表一个像素，其特征维度(向量$X_1$的长度)代表通道数$C$
• 归一化后的邻接矩阵 $\hat{A}$ 的每一行可以认为卷积核的形状参数 (比如说，对1号像素(节点)使用3X3的卷积核，对2号像素(节点)使用2X2的卷积核，等等)，注意这里$\hat{A}$是固定不变的。
• W就是所对应的卷积核参数

好， 现在根据形状参数 $\hat{A}$ 给 图片$I\in {\mathbb{R}}^{N\times C}$ 做卷积(这里图片有N个像素)，得到特征图$H^{(2)}\in {\mathbb{R}}^{N\times F}$，现在特征图的每个像素的特征值维度是${\mathbb{R}}^{1\times F}$，因为是像素级分类，我们就可以让每个像素进入分类器（全连接层）了！这样像素级(GCN)分类就做完了.