DCCA互相关系数 理论

Cross-correlation analysis of stock markets using EMD and EEMD 源自2.4小节

DCCA方法是由Podobnik和Stanley[31]最近提出的，用于分析同时记录的非平稳时间序列之间的幂律互相关系，是互相关系研究的有力候选工具。因此，在以往的许多研究中，DCCA方法被用来研究相互关系[33-40]。DCCA过程可以简单描述如下：

考虑这两个时序：和，i=1,2，...，N，并且两时序长度相等为N。

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σDCCA方法如下：

1. 序列概况可以表示为：

 ps:减去均值不是必须的，因为在第三步去趋势部分会消除。

2. 对X和Y等长度划分s个不重叠的部分，一共个，=[N/s]，而N可能不是时间尺度s的倍数，因此会出现剩余的情况，为了能考虑这个余部序列，同样的过程从每个时序【即X和Y】的另一端开始重复，因此可以得到2个小段。

ps:本文设定100

3. 由每个序列的最小二乘拟合，计算2小段每个的局部趋势，后续由和表示。然后计算原始时间序列与拟合多项式的差值：

第一个式子是正向的，先循环每个 小段里的时序i，再循环外部分的小段。

第二个式子是反向的。

4. 对所有分段求平均，得到波动函数：

5. 通过分析与s的对数曲线图，确定波动函数的缩放行为：。缩放指数λ表示两个时间序列 和 之间的互相关程度。

λ=0.5 缺乏互相关

λ>0.5 有持续的长期的互相关

λ<0.5 有反持续互相关

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当只分析一个时间序列时(= )，去趋势协方差退化为。λ指数量化了长期幂律互相关[41,42]，但λ不能量化互相关水平。

为了量化互相关的程度，我们可以应用DCCA互相关系数[32]，定义为比率在去趋势协方差函数和去趋势方差函数之间，即：

上式将我们引入了非平稳时间序列的一种新的互相关尺度。σDCCA取值范围为 -1<=σDCCA<=1。σDCCA = 0表示序列之间不存在互相关，σDCCA = 1表示完全互相关，正相关，σDCCA = -1表示负相关。值得注意的是，有一个例外，如果和，都是随机序列，则σDCCA = 1，但两个随机序列不存在互相关关系。DCCA互相关系数在很多情况下都有应用。 

参考文献：

[31] B. Podobnik, H.E. Stanley, Detrended cross-correlation analysis: a new method for analyzing two nonstationary time series, Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 084102.

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[33] B. Podobnik, D. Horvatic, A.M. Petersen, H.E. Stanley, Cross-correlations between volume change and price change, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 106 (2009) 22079–22084. 30

[34] W.X. Zhou, Multifractal detrended cross-correlation analysis for two nonstationary signals, Phys. Rev. E 77 (2008) 066211. 

[35] B. Podobnik, I. Grosse, D. Horvatic, S. Ilic, P.Ch. Ivanov, H.E. Stanley, Quantifying cross-correlations using local and global detrending approaches, Eur. Phys. J. B 71 (2009) 243–250. 

[36] Z.Q. Jiang, W.X. Zhou, Multifractal detrending moving average cross-correlation analysis, Phys. Rev. E 84 (2011) 016106. 

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[39] D. Horvatic, H.E. Stanley, B. Podobnik, Detrended cross-correlation analysis for non-stationary time series with periodic trends, Europhys. Lett. 94 (2011) 18007.

[40] I. Gvozdanovic, B. Podobnik, D. Wang, H.E. Stanley, 1/f behavior in cross-correlations between absolute returns in a US market, Physica A 391 (2012) 2860–2866

[41] X. Zhao, P. Shang, Y. Pang, Power law and stretched exponential effects of extreme events in Chinese stock markets, Fluct. Noise Lett. 9 (2010) 203–217.

[42] J. Xia, P. Shang, J. Wang, Estimation of local scale exponents for heartbeat time series based on DFA, Nonlinear Dynam. 74 (2013) 1183–1190.