【自动控制原理】——第二章——数学模型【时域】【复频域】【梅森增益公式】

文章目录

    • 0.数学模型的概念
    • 1.控制系统的时域数学模型(微分方程)
      • 线性微分方程的一般特征
      • 非线性微分方程的线性化
      • 拉普拉斯例题传送门
    • 2.控制系统的复数域数学模型
      • 2.1传递函数的定义
      • 2.2传递函数的性质
      • 2.3传递函数的常用表示形式
      • 2.4传递函数的零、极点对输出的影响
      • 2.5例题
    • 3.控制系统的结构图与信号流图
      • 结构图的等效变换
      • 结构图例题
      • 信号流图的概念和组成
      • 信号流图中的常用术语
    • 梅森公式
      • 梅森公式概念
      • 梅森公式例题

0.数学模型的概念

  1. 什么是数学模型?
    描述控制系统的输入变量、输出变量以及内 部变量之间动态关系的数学表达式。
  2. 为什么要建立数学模型?
    对系统进行定量分析和设计的基础。 (例如,求解输出量,计算性能指标)
  3. 数学模型的建立方法
    (1)分析法:分析系统各部分的运动机理,根据它们依 据的物理规律、化学规律等列些运动方程。
    (2)实验法:
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人为地给系统输入端施加某种测试信号,记录其输 出响应;根据记录的输入、输出数据,用适当的数学模 型去逼近黑箱,从而建立数学模型。
(实验法所建立的模型未必能描述系统内部的运行 机理,但能描述输入量与输出量之间的动态关系。)
这也称为系统辨识方法。
4. 数学模型的类型
1)微分方程:时域
其它模型的基础 直观 求解繁琐
2)传递函数:复频域
微分方程拉氏变换后的结果

1.控制系统的时域数学模型(微分方程)

【例题1】

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l

线性微分方程的一般特征

实际物理系统的线性微分方程一般具有以下形式:
在这里插入图片描述
叠加原理包括:齐次性+可加性
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非线性微分方程的线性化

在实际工程中,物理元件都具有不同程度的非线性。非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下,可以将非线性方程近似地转化为线性微分方程,使对系统动态特性的分析大为简化。
线性化的方法
(1)忽略弱非线性因素 如果元件的非线性因素较弱或者不在系统非线性工作范围以内,则它们对系统的影响很小,就可以忽略
(2)在平衡点附近的小偏差法(切线法,增量线性化法)实质是在一个很小的范围内,用直线来代替非线性曲线
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方程中含有变量或变量的导数的非线性函数线性化
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线性微分方程如何求解

拉普拉斯例题传送门

用拉普拉斯变换

2.控制系统的复数域数学模型

2.1传递函数的定义

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在这里插入图片描述
直接得
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2.2传递函数的性质

(1)传递函数与微分方程一一对应;
由传递函数也可以得到微分方程,d/dt和s相互替换
(2)传递函数表征了系统本身的动态特性。
传递函数只取决于系统本身的结构和参数,而与输入和初始条件等外部因素无关。
(3)实际系统m ≤ n,分子分母多项式的系数均为实数;
(4)传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应g(t), g(t)= L-1[G(s)]。

2.3传递函数的常用表示形式

  1. 传递函数的有理分式形式

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  1. 传递函数的零、极点形式(“首1”的形式)

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  1. 传递函数的典型环节形式(“尾1”的形式)

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2.4传递函数的零、极点对输出的影响

1.系统的自由运动属性(模态)
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2. 极点决定了系统自由运动属性(模态)
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  1. 极点位置决定了系统响应的稳定性和快速性

(1)极点实部的负或正,决定系统是否稳定。
(2)极点实部的幅值(极点距离虚轴的位置)决定系统响应的快速性。

  1. 零点位置决定了各个运动模态所占的比例
    (1)影响系统响应曲线的形状,影响响应的快速性。
    (2)一般,零点离极点较远时,该极点对应的模态所占比例较大。反之亦然。因此,零点有阻断极点模态“激发”的作用。

2.5例题

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3.控制系统的结构图与信号流图

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结构图绘制步骤
根据每个元件的拉氏变换方程,绘出其单元结构图。置系统的输入于最左端,输出于最右端,按照信号的流向,把各单元结构图中相同的信号连接起来,就得到整个系统的结构图.
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结构图的等效变换

(1) 串联
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(2) 并联
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(3) 反馈
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(4) 比较点和引出点的移动

一般不宜交换比较点和引出点。
“-”号可以在信号线上移动,但不能越过比较点或引出点。
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结构图例题

结构图合并举例

信号流图的概念和组成

组成
节点:系统中的变量(信号),用“ ”表示,同时具有叠加的作用
支路:连接节点,标上支路增益,有向线段,表示了一个信号对另一个信号的函数关系,用增益或传递函数表示(相当于乘法器)。
若增益为负数,标上“-”,为正则略。支路是有方向性的。
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信号流图中的常用术语

在这里插入图片描述
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梅森公式

梅森公式概念

一般采用梅森公式求信号流图的传递函数C(s)/R(s)
梅森公式也可以直接用于结构图
在这里插入图片描述
P: 输入节点到输出节点之间的传递函数(也称总增益)。
n: 从输入节点到输出节点的前向通路的总数。
Pk :从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益。
∆ :信号流图的特征式:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
∆k 第k条前向通路特征式的余因子,等于流图特
征式 ∆中除去与第k条前向通路相接触的回路
增益项
(相当于令其等于0)以后的余项式。

梅森公式例题

【例题1】
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【例题2】
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【例题3】
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【例题4】
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闭环系统的传递函数
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