机器学习基石 Lecture8: Noise and Error

Noise and Error

前面讲的机器学习的学习流程如下图所示：

但是这个流程里假设的都是有一个真实的函数$f$来生成样本，但是现实中很有可能样本里带有一些噪音，也就是无法单纯用一个函数$f$来刻画$y$与$x$的关系。比如在信用卡问题里有以下几种噪音：

1. y的噪音：对表现良好的用户标记为-1（不发信用卡）
2. y的噪音：同样的用户不同的标签
3. x的噪音：不准确的用户信息

在有噪音的情况下，VC bound的不等式是否依然成立呢？我们可以从头开始推导，但是要包含有噪音的情况。建模成每个样本$x$服从一个概率分布$P(x)$，而对于一个给定的$x$，对应的$y$也服从一个条件分布$P(y|x)$。这样就包含了噪音的存在。最终的结果是VC bound的结果依然类似的成立：

这时候我们机器学习的目标就从学习一个目标函数$f$变成了学习一个概率分布$P(y|x)$。而对一个给定$x$有确定性结果$y$的目标函数$f$是这样一个概率分布的特殊情况。因此我们得到了一个新的机器学习的流程：

Error Measure

当我们得到一个最终的学习结果$g$的时候需要将其与真实函数$f$作对比，这样才能够知道最终学习到的效果如何。比如之前在PLA里考虑的在采样集合之外函数$g$的错误率$E_{out}(g)=ϵ[g(x)̸=f(x)]$就是一种比较方式。更一般的说，这种方式叫做error measure E(g,f)。一般评估错误有几个自然的想法：

1. 在数据集外未知的x上测试错误率（out-of-sample）
2. 在每个单独的x之上评估再进行平均（pointwise）
3. 使用简单的是否预测正确来判断（classification，0/1 error)
   
   0/1 error一般使用在分类中，还有一种重要的error叫做平方误差，一般用在回归中：
   
   比如对于一个简单的问题而言，使用不同的error就可以针对不同的“最优”的目标函数$f$：
   
   这样error measure在机器学习的过程中就能对算法起到一个引导的作用，引导算法得到不同的最终结果：
   

Algorithmic Error Measure

上面的0/1 error中对于不同类型的判断错误同等对待，但是实际应用中不同的错误类型可能导致的严重后果完全不同。比如如下一个指纹识别的例子。当用在超市会员打折时，false reject可能会导致用户非常生气，而false accept导致的结果也没有很坏。因此可能对不同的错误类型赋予不同的权重：

但如果是CIA的指纹识别机，不同的错误导致的后果又是与超市完全相反：

因此对于不同的应用场景而言我们会为算法定义一个新的err来表达对不同错误的容忍程度，用$err$表示（因为和问题里实际的err有可能还是不一样）。当定义$err$时我们需要考虑两方面，一个是合理性，一个是是否易于实现：

于是对于算法而言就有了新的$err$来指导其选择假设函数，新的机器学习流程如下：

Weighted Classification

对于不同的错误分类需要有一个权重来表示它的重要程度，因此新的计算错误率的时候需要将系数也加入其中：

于是我们新定义了一个带权重的集合内错误率：

这对于PLA算法而言没有影响，因为对于线性可分的数据集，最终得到的结果集合内错误率应该是0。但是对于非线性可分的数据集的pocket PLA算法而言就需要进行对应的修改。修改出现在使用刚更新的$w_{t+1}$判断是否需要替代当前最好的系数$w$的时候。初始的判断方式是使用集合内的错误率$E_{in}$，现在替换为$E_{in}^w$即可。

但是对于pocket PLA算法而言，我们能够保证使用$E_{in}$能得到较好的结果，但是使用$E_{in}^w$呢？

这个时候只需要将对应错误类型的样例进行正比于系数的虚拟赋值，这样就将这个使用了$E_{in}^w$的问题转化为了一个使用了$E_{in}^{0/1}$错误的问题：

转化之后的问题是当前已经解决的问题，因此对于这个形式的err，pocket PLA算法的结果也能得到保证。转化后的问题为：

最后注意一个习题，习题表明了对于正负例比例严重失调的时候，使用带权重的错误能够用来避免算法只返回一个不变的结果：