NP完全性理论与近似算法

一.NP完全性理论

(1)在图灵机计算模型中，移动函数δ是单值的，即对于Q´Tk中的每一个值,当它属于δ的定义域时Q´(T´{L，R，S})k

中只有唯一的值与之对应，称这种图灵机为确定性图灵机，简记为DTM(Deterministic Turing Machine)。 

(2)非确定性图灵机（NDTM ）：一个k带的非确定性图灵机M是一个7元组：(Q，T，I，δ，b，q0，qf)。与确定性图灵机不同的是非确定性图灵机允许移动函数δ具有不确定性，即对于Q´Tk中的每一个值(q;x1,x2,…,xk)，当它属于δ的定义域时，Q´(T´{L，R，S})k中有唯一的一个子集δ(q;x1,x2,…,xk)与之对应。可以在δ(q;x1,x2,…,xk)中随意选定一个值作为它的函数值。

  P类和NP类语言的定义：

   P={L|L是一个能在多项式时间内被一台DTM所接受的语言}

   NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}

(3)三类问题：P类、NP类、NPC类问题

    P类问题：在多项式时间内可以解决的问题

   

   NP类问题：能被一个多项式时间算法验证的问题  

    NPC类问题: 它的状态是未知的，既没有人找出求解NPC问题的多项式时间算法，也没有人能够证明对这类问题不存在多项式时间算法。

 

(4)三者关系

  

（5）NP理论应用

  1.   3-CNF可满足性

  2.   团问题

  3.   顶点覆盖问题

  4.   哈密顿回路问题

  5.   旅行商问题

  6.   子集和问题

   二.近似算法

    

 迄今为止，所有的NP完全问题都还没有多项式时间算法。对于这类问题，通常可采取以下几种解题策略。

(1)只对问题的特殊实例求解

(2)用动态规划法或分支限界法求解

(3)用概率算法求解

(4)只求近似解

(5)用启发式方法求解