A = LU 与 矩阵A 的列空间、行空间的关系

假设 A = LU，L 表示下三角矩阵，U 表示上三角矩阵。则 矩阵A 的秩 = U 的主元列数。矩阵A 的列空间与矩阵 L 的列空间相同，矩阵A 的行空间 与矩阵U 的行空间相同。

$A=LU=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

	列空间	列零空间	行空间	行零空间
维度	2	1	2	1
基	$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]$,$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right]$,$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

因为矩阵 $U$ 有两个主元列，所以矩阵$A$的列空间的维度为 2。因为矩阵A可以看作矩阵 L的列 经过 矩阵U 变换后得到，所以矩阵A 的列与矩阵L 的列是线性相关的，所以矩阵 A 的列空间 与 矩阵L 的列空间相同。同理，矩阵A也可以看作是 矩阵U的行经过矩阵L变换后得到，所以矩阵 A 的行与矩阵U的行是线性相关的，所以矩阵A 的行空间与矩阵U的行空间相同。

矩阵A 的零空间，因为矩阵 A 有3列，所以零空间的维度$d=3-2=1$。令 $x\in N(A)$，则有 $Ax=LUx=0\to Ux=0$，矩阵U 有一个自由变量，令其为 1，可以得到零空间的特解$x_p=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$，所以零空间 $N(A)$ 的基为 $x_p$。

矩阵A 的转置的零空间又称为矩阵A的左零空间，因为矩阵A 有3行，所以矩阵A 的左零空间的维度 $d=3-2=1$。令 $x\in N(A^T)$，则有 $A^{T}y=0\to y^{T}A=0$，即向量 y 的转置经过 A 转换后得到零矩阵。另 $A=LU\to L^{-1}A=U$，即：$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]A=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$，观察 $L^{-1}$的最后一行可以发现，$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]$，所以 $y^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]\to y=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$