基于Python进行相机校准

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相机校准的目的是找到相机的内在和外在参数。

总览

为了校准相机，我们对3D对象（例如图案立方体）成像，并使用3D对象与其2d图像之间的3D-2D点对应关系来查找相机参数。

我们需要找到两组参数：内在参数和外在参数。固有参数是摄像机内部的那些参数，例如焦距，主要点等，而固有参数是规定摄像机相对于摄像机的位置t（平移矢量）和方向R（旋转矩阵）的参数。外部坐标系（通常称为世界坐标系）。在第一部分中，我们将仅计算内部参数（假设外部参数是已知的），而在第二部分中，我们将共同计算内部参数和外部参数。

内部参数计算

我们使用的校准对象是魔方。

我们对立方体进行成像，如下图所示。然后，我们获得许多3D-2D点对应关系。在这一部分中，我们已经计算了点对应关系，您要做的就是从它们中计算出固有参数。3D-2D对应关系在数据文件“ pt_corres.mat”中给出。该文件包含“ pts_2D”，2D点和“ cam_pts_3D”以及所有对应的3D点。现在，我们必须找到K矩阵

K矩阵

使3D与2D点相关的矩阵K是具有以下形状的上三角矩阵。

其中αx，αy表示以x和y像素尺寸表示的焦距，px和py是主要点，s是偏斜参数。

2D点（x，y）与相应3D点（X，Y，Z）之间的关系由下式给出

1. x =αx（X / Z）+ s（Y / Z）+ px

2. y =αy（Y / Z）+ py

内部和外部参数计算

在上一部分中，我们假设已知外部参数，然后计算了内部参数，即假设我们知道了相机坐标系中的3D点对应关系。但是这种情况很少发生。几乎总是我们仅在世界坐标系中知道3D点的对应关系，因此我们需要估算内在和外在参数。但是在此之前，我们需要获取3D-2D点对应关系。如图1所示，相对于世界坐标系描述了3D点。该图显示了世界坐标系的x，y和z轴以及一些示例3D点，它们是正方形的角。有28点。

1. 世界坐标系中的3D点在rubik_3D_pts.mat中提供，图像上相应的2D点在rubik_2D_pts.mat中提供

2. 接下来，我们要计算相机投影矩阵P = K [R t]，其中K是内部/本征校准矩阵，R是旋转矩阵，用于指定相机坐标系与世界坐标系的方向，而t是转换向量，可以确定摄影机中心在世界坐标系中的位置。

3. 为了计算P，我们使用“直接线性变换（DLT）”。DLT是要理解的重要算法，下面将对其进行详细说明。

离散线性变换（DLT）

离散线性变换（DLT）是一种简单的线性算法，用于从相应的3空间和图像实体估计摄像机投影矩阵P。相机矩阵的这种计算称为切除。最简单的这种对应关系是在未知相机映射下的3D点X及其图像x之间。给定足够多的这种对应关系，可以确定相机矩阵。

算法

假设给出了3D点和2D图像点之间的许多点对应关系。相机矩阵是一个3x4矩阵，它通过xi = P.Xi将点关联起来。对于每个对应关系Xi xi xi，我们得到三个方程，其中两个线性独立，在下面进行描述

步骤

1. 从一组n个点对应关系中，我们通过为每个对应关系堆叠以上形式的方程式来获得2nx12矩阵A

2. 获得A的SVD。对应于最小奇异值的单位奇异向量是解p。具体来说，如果A = UDVT，D对角线带有对角线正项，并按对角线降序排列，则p是V的最后一列

3. 获得p并以矩阵形式写入以获得矩阵P

通过解方程组Ap = 0来计算投影矩阵P，其中p是包含矩阵P项的向量。

计算P所需的最小点对应数量

3×4矩阵P具有12个元素，但比例是任意的，因此具有11个自由度。由于每个点的对应关系都有2个方程，因此至少需要5.5个对应关系才能求解P。0.5表示从第六个点开始仅使用一个方程，即我们选择x坐标或y-第六个图像点的坐标。

在此最小数量的对应关系下，该解决方案是精确的，并且可以通过求解Ap = 0来获得，其中A在这种情况下为11x12矩阵。

如果数据不精确，则给出n≥6个点对应关系，那么将没有精确的解决方案，我们通过最小化代数或几何误差来解决。

从投影矩阵P获得参数K，R和t

通过RQ分解将P分解为K，R，t。它涉及计算分解A = RQ，其中Q为unit /正交，R为上三角。

验证计算参数的准确性

为此，我们将计算重新投影误差，该误差是对2D点与通过使用计算出的相机参数投影3D点而获得的2D点之间距离的度量。

该图以橙色显示了原始2D点，并以绿色显示了重新投影的点。可以看出，重新投影的点与实际点非常匹配。

参考文献

[1] R. Hartley and A. Zissermann, Multiview geometry, 2nd edition, Cambridge University Press.

[2] Z. Zhang. A flexible new technique for camera calibration. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 22(11):1330–1334, 2000.

有关详细代码，请访问https://github.com/sreenithy/Camera-Calibration。