三分钟熟悉进制转换与位运算

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进制和位运算简介

进制也叫进位制，是一种记数方法，也称进位计数法，利用这种记数法可以使用有限的数字符号来表示所有的数值。

一种进制中可以使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数，若一个进制的基数为 N，则可称之为 N 进制，即表示数值时满 N 进一。

在生活中最常用的是十进制，使用 10 个阿拉伯数字 0 到 9 进行记数。而在电子计算机领域，内部使用的是二进制，电路的状态通过 0 和 1 表示来实现记数。八进制和十六进制计算机领域也较为常用，尤其十六进制。

位运算则是在程序中对二进制数的一元和二元运算操作。

在 JDK 以及框架源码中都存在进制转换和位运算的身影，作为开发人员应该熟悉基本的进制转换和位运算（最起码得能看懂吧）。

进制转换

例如，十进数的 13，二进制的 1101，他们表示相同的数值，只是不同的表现形式而已，那么不同进制之间如何相互转换呢？

十进制转换 N 进制，可以通过“短除法”求余数然后倒序得到转换结果，一个十进制数转换为 N 进制就除以 N，例如：

1. 将十进制数 123 转换为二进制。
   
   结果：1111011

2. 将十进制数 123 转换为十六进制。
   
   结果：7b

N 进制转为十进制可以通过“按位权展开法”来转换，即在 N 进制中，每个位置的数字乘以进制的基数为底的所处位置序号(从 0 开始)为指数的整数次幂，然后相加。例如：

1. 将二进制数 1111011 转换为十进制。

   1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0
   = 1 * 64 + 1 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1
   = 123

2. 将十六进制数 7b 转换为十进制

   7 * 16^1 + b * 16^0
   = 7 * 16 + 11 * 1
   = 123

二进制与十六进制互转

四位二进制数表示的范围是 0 - 15，用四位二进制数可以表示十六进制的一位数，反之亦然。即二进制转十六进制可以通过四(位)合一(位)，十六进制转二进制可以通过一(位)拆四(位)来转换。例如：
二进制 1111011 转换为十六进制，0111(7) - 1011(b) 即转换结果为7b。
十六进制 7b 转为二进制，7(0111) - b(十进制 11，二进制 1011) 即转换结果为 1111011。

二进制与八进制互转

三位二进制数表示的范围是 0 - 7，用三位二进制数可以表示八进制的一位数，反之亦然。即二进制转八进制可以通过三(位)合一(位)，八进制转二进制可以通过一(位)拆三(位)来转换。例如：
二进制 1111011 转换为八进制，001(1) - 111(7) - 011(3) 即转换结果为173。
八进制 173 转为二进制，1(001) - 7(111) - 3(011) 即转换结果为 1111011。

负数的二进制

前面介绍的都是正数的二进制转换，那么负数的二进制如何表示和转换的？

首先，我们先了解一下原码、反码、补码，一个数在计算机中的二进制表示形式叫做这个数的机器数，机器数的最高位称为符号位，正数符号位为 0，负数符号位为 1，而符号位之外部分称为机器数的真值(表示真正的数值部分)，原码、反码、补码是机器数的表示方法。

原码： 原码的表示方法，最高位是符号位，其余部分表示数值(真值)。正数符号位为 0，负数符号位为 1，0 的符号位可以为 0 或 1(+0 和 -0)。

例如，我们用 8 位二进制表示一个数，则 +11 的原码为 00001011，-11 的原码就是 10001011。

在数学中 1 + (-1) = 0，如果使用原码直接参与数学运算，00000001 + 10000001 = 10000010(换算成十进制为 -2)，显然不对。所以原码的符号位不能直接参与运算，必须和其他位分开，这就增加了硬件的开销和复杂性。为了便于 ALU (算术逻辑单元，实现多组算术运算和逻辑运算的组合逻辑电路)的设计，又发展出反码、补码。

反码： 反码的表示方法，正数的反码等于其原码，而负数的反码通过保留其符号位，将其原码的数值位(真值)取反。

例如，同样用 8 位二进制表示一个数，11 = 00001011(原码) = 00001011(反码)，
-11 = 10001011(原码) = 11110100(反码)。

虽然，反码可以消除原码存在的计算问题，由于反码存在多余的负零等问题，此方式并未被广泛应用。

补码： 补码的表示方式，正数和 0 的补码等于其原码，且补码的 0 只有一个表示方式，不分 +0 和 -0。负数是将他的反码加 1 得到补码。

例如，11 = 00001011(原码) = 00001011(反码) = 00001011(补码)，-11 = 10001011(原码) = 11110100(反码) = 11110101(补码)。

一种简单方式算出补码

负数的补码一般情况下通过负数的原码得到反码，在将反码加 1 获得补码。这里有一种简单的计算补码方法。

1. 将对应的正数原码从最低比特位向高比特位查找。
2. 若该比特位为 0，补码对应比特位填 0，继续向高比特位查找。
3. 若找到第一个为 1 的比特位，将补码对应比特位填 1。
4. 然后，将其余未转换的比特位全部取反。

例如：计算 -20 的补码。

计算机为什么使用补码

为了简化 ALU 设计，减法转换为加法来计算，例如，1 - 1 可以转换为 1 + (-1) = 00000001 + 11111111 = 100000000 (由于加数和被加数都是 8 位，因此运算结果也限制在 8 位，前面溢出的比特位 1 忽略，所以结果为 00000000 = 0)，即一个数加上另一个数的补码来表示。

这样只要有加法电路即可完成各种有号数加减法，对于乘除法，乘法在计算机中其实就是不断的做加法，除法就是相减，本质也是加法，所以四则运算的基础都是由加法而来，电路设计得到了很大简化。补码解决了原码和反码出现的问题，因此计算机中数值使用补码方式来计算和存储的。

Java 内置的进制转换 API

JDK 的 Integer 和 Long 类提供了常用的进制相互转换方法。

进制转换	java.lang.Integer	java.lang.Long
10进制 → 2进制	toBinaryString(int i)	toBinaryString(long i)
10进制 → 8进制	toOctalString(int i)	toOctalString(long i)
10进制 → 16进制	toHexString(int i)	toHexString(long i)
10进制 → n 进制	toString(int i, int radix)	toString(long i, int radix)
n 进制 → 10进制	valueOf(String s, int radix) parseInt(String s, int radix)	valueOf(String s, int radix) parseLong(String s, int radix)

System.out.println(Integer.toBinaryString(13)); // 十转二，结果为 1101
System.out.println(Integer.toOctalString(13));  // 十转八，结果为 15
System.out.println(Integer.toHexString(13));    // 十转十六，结果为 d
System.out.println(Integer.toString(13, 5));    // 十转五，结果为 23
System.out.println(Integer.valueOf("23", 5));   // 五转十，结果为 13

位数补齐

如 int 类型数据长度是 32 位，输出时前面的“0”会被省略，想补齐可以使用 commons-lang3-*.jar 的 StringUtils 工具类对输出的字符串位数补齐。示例：

String fullStr = StringUtils.leftPad("1010", 32, "0"); // 对二进制 1010 位数补齐
System.out.println(fullStr); // 输出结果：00000000000000000000000000001010

Java 中进制前缀

Java 对二进制、八进制、十六进制提供了字面量前缀的表现形式，可以直接使用这几种进制形式计算或赋值，例如：

// 都表示十进制的 10
int i1 = 10; 	 // 十进制，没有前缀
int i2 = 0b1010; // 二进制，前缀   0b(Java 7 或更高版本)
int i3 = 012; 	 // 八进制，前缀   0
int i4 = 0xA; 	 // 十六进制，前缀 0x

System.out.println(i2 + 1);
System.out.println(i3 + 1);
System.out.println(i4 + 1);

位运算

位运算是在程序中对二进制数的一元和二元运算操作，其运算符有 & ，| ，~ ，^ ，<<， >>， >>> ，接下来我们来逐个说明：

& (按位与)

按位“与”操作处理两个长度相同的二进制数，两个相应的二进位都为 1，该位的结果值才为 1，否则为 0。
如图：10 & 3 (int 类型长度 32 位，下图补位的 0 已被省略)。

| (按位或)

按位“或”操作处理两个长度相同的二进制数，两个相应的二进位只要有一个为 1，该位的结果值就为 1。
例如：10 | 3 (int 类型长度 32 位，下图补位的 0 已被省略)。

~ (按位非)

该操作符是一元运算符，对一个二进制数的每一位执行逻辑反操作，使相应的位 1 变为 0，0变为 1。
例如：~ 3

^ (按位异或)

按位“异或”操作处理两个等长的二进制数，如果某对应位值不同则结果值为 1，否则为 0。
例如：10 ^ 3 (int 类型长度 32 位，下图补位的 0 已被省略)。

<< (左移)

向左进行移位操作，高位丢弃，移位后空缺的低位补 0。
例如：10 << 2

>> (右移)

向右移位，移位后空缺高位补 0，若为负数，高补 1。
例如：10 >> 2 和 -10 >> 2

>>> (无符号右移)

向右移位，无论正负，高位空缺部分补 0。
例如：10 >>> 2 和 -10 >>> 2

应用示例

1. m * 2^n 或 m / 2^n

System.out.println(2 << 1); // 2 * 2^1 = 4 ，相当于乘以 2^1
System.out.println(3 >> 1); // 3 / 2^1 = 1 , 相当于除以 2^1 向下取整

2. 奇数偶数判断

if(m & 1 == 1) {
    System.out.println("奇数");
} else {
    System.out.println("偶数");
}

3. 随机概率

// lr = 随机数;
if ((lr & 0x3) == 0) {
    // 有 1/4 的概率执行该代码块
}

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参考：
维基百科 - https://zh.wikipedia.org