算法：动态规划
动态规划的规则
1.状态定义
2.固定住不确定的因素（例如1.确定连续子数组，我们可以选择固定子数组的末尾元素2.台阶确定最后一阶台阶），是得状态转移变得容易
3.求解过程中每个子问题只求解一次，无后效性。
一 斐波那契数列
1.1 题目描述
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2
输出：1
示例 2：
输入：n = 5
输出：5
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof
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1.2 解题思路以及代码
对于斐波拉契数，我们可以选择使用递归方法，但是会超时。使用动态规划的实践复杂度为O(n).
递归代码如下：
public static int Fib(int n)
{
if (n == 0)
{
return 0;
}else if (n == 1)
{
return 1;
}
else
{
return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
}动态规划代码如下：
public static int Fib1(int n)
{
if (n == 0)
{
return 0;
}
else if (n == 1)
{
return 1;
}
int a = 0;
int b = 1;
int c=0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
c = (a + b) % 1000000007;
a = b;
b = c;
}
return c;
}动态规划对于除余进行了处理。其他的均是动态规划思想，但是不是用数组去明确表示，而是使用了abc三个变量去对数组进行了表示。
动态规划的表格如下:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| dp | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 |
对比此题的递归和动态规划，我们发现递归是从后往前（是栈），动态规划是从前往后(从小到大）。
二 青蛙跳台阶问题
2.1 题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
示例 2：
输入：n = 7
输出：21
示例 3：
输入：n = 0
输出：1
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2.2 思路以及代码
public int NumWays(int n) {
if (n == 0)
{
return 1;
}else if (n == 1)
{
return 1;
}
int a = 1;
int b = 1;
int c=0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
c = (a + b)% 1000000007;
a = b;
b = c;
}
return c;
}此题跟上一题比较，初始条件变更而已。
三 股票的最大利润
3.1 题目描述
假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。
示例 2:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
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3.2 思路以及代码
| 7 | 1 | 5 | 3 | 6 | 4 | |
| min | 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| maxProfit |
7-7=0 | 0 | 4 | 4 | 5 | 5 |
dp[i]，确定的状态是以i天为结尾的时候，我们可以确定第i天卖股票，卖出价格，以及i天之前最低价格买入的价格。
min表示i天结尾的时候，最低买入价格。maxProfit表示最大利润。
代码为：
public static int MaxProfit(int[] prices)
{
int minPrice = prices[0];
int maxFrofix = 0;
for(int i = 0; i < prices.Length; i++)
{
if (minPrice > prices[i])
{
minPrice = prices[i];
}
maxFrofix = Math.Max(maxFrofix, prices[i] - minPrice);
}
Console.WriteLine(maxFrofix);
return maxFrofix;
}在main方法中使用此语句：
MaxProfit(new int[] {7,1,5,3,6,4 });结果为
5四 连续子数组的最大和
4.1 题目描述
输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。
要求时间复杂度为O(n)。
示例1:
输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
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4.2 思路以及代码
| nums | -2 | 1 | -3 | 4 | -1 | 2 | 1 | -5 | 4 | |
| i为尾最大子数和 | -2 | 1 | -2 | 4 | 3 | 5 | 6 | 1 | 5 |
public static int MaxSubArray(int[] nums)
{
int MaxSubArraySum = nums[0];
int[] dp = new int[nums.Length];
dp[0] = nums[0];
if (nums.Length == 1)
{
return MaxSubArraySum;
}
for(int i = 1; i < nums.Length; i++)
{
dp[i] = Math.Max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
MaxSubArraySum = Math.Max(dp[i], MaxSubArraySum);
}
Console.WriteLine(MaxSubArraySum);
return MaxSubArraySum;
}主函数使用如下：
MaxSubArray(new int[] { -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4 });结果为
6