完全重建QMF滤波器组的设计
实验简介
多抽样率技术的应用如今越来越广泛，它可以实现一个信道中的多路通信：可以用于数据压缩（如分频带编码后进行存储和传输）；可以用于图像处理和语音处理；可以用于窄带数字滤波的实现；可以用于保密系统等，多抽样率滤波器组已成为信号处理领域强有力的工具。完全重建QMF滤波器组最大的优点是在对信号进行抽取后，可以根据每个子带的不同特征分别进行处理，而插值和合成环节又能消除信号失真的各种因素，因此被广泛用于语音处理、图像处理、国防通信和小波变换中。目前，完全重建QMF滤波器组的设计有多种优化设计方法，如特征值法、最小二乘法、遗传法、多项式分解法等等，都将信号失真降到了很小的范围，但是这些方法计算复杂、参数不容易确定、程序编写较难。而利用matlab的信号处理功能和运算功能，可以快速、有效的设计完全重建QMF滤波器组，且具有较高的精度。
两通道正交镜像滤波器组理论
一个两通道正交镜像滤波器组如图1所示，在分析滤波器组一侧，输入信号（设为宽带信号）被分成K个子频带信号（窄带信号），通过抽取可降低采样率；在综合滤波器一侧，通过零值内插和带通滤波可以重建原来的信号。
如果综合滤波器组最后输出的信号
与分析滤波器组原来输入的信号
有如下关系：
对于一个给定的信号，经过分析滤波器后，再进行抽取、编码、传输，可以通过零值内插、综合滤波器滤波、求和运算得到恢复和重建。但是重建后的信号并不能与原始信号完全相同，两者之间存在着误差，主要包括：
（1）混叠失真。由抽取和内插产生的混叠和镜像带来的误差，导致分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开；
（2）幅度失真。由于分析和综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，其幅频特性波纹产生的误差；
（3）相位失真。由滤波器相频特性的非线性所产生的误差；
（4）量化失真。由编、解码产生的误差，与量化噪声相似，这类误差无法完全消除，只能设法减小。
因此，在设计QMF组时，就需要综合考虑如何减小和消除上述的各类误差。
完全重建QMFB遇到的问题和解决办法
（1）用FIR QMF滤波器组，去除相位失真的前提下，尽可能的减小幅度失真，近似实现完全重建；
（2）用IIR QMF滤波器组，去除幅度失真，不考虑相位失真，近似实现完全重建；
（3）修正QMF滤波器
的关系，去考虑更合理的形式，从而实现完全重建[5]。
综上分析可知，实现完全重建QMFB并不简单，一般只能做到近似重建，近似程度取决于设计的优化。
完全重建QMFB的设计
利用matlab实现完全重建QMFB的设计，只需要知道各滤波器的阶数N和滤波器
的通带截止频率
，就可以得到完全重建QMFB的分析、综合滤波器组的时域形式，
，
，
，误差较小且能达到良好的精度。其中，N必须为奇数，必须小于0.5。
实验要求
使用MATLAB完全重建QMFB
源代码
N=41;
w=0.43;
[h0,h1,g0,g1]=firpr2chfb(N,w);
[H1z,w]=freqz(h0,1,512);
H1_abs=abs(H1z);H1_db=20*log10(H1_abs);
[H2z,w]=freqz(h1,1,512);
H2_abs=abs(H2z);H2_db=20*log10(H2_abs);
%%%%%%%%%%滤波器h0和h1的幅度响应%%%%%%%%%%
figure(1);
plot(w/pi,H1_db,'-',w/pi,H2_db,'--');
axis([0,1,-100,10]);
grid
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度,dB');
sum1=H1_abs.*H1_abs+H2_abs.*H2_abs;
d=10*log10(sum1);
%%%%%%%%%%%%幅度响应关系误差%%%%%%%%%%%%%
figure(2)
plot(w/pi,d);grid;
xlabel('\omega/\pi');ylabel('误差,dB');
axis([0,1,-0.04,0.04]);
%%%%%%%%%%%%%x1(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros(1,500);
x(2)=1;x(3)=1;
x(6)=2;x(7)=2;x(8)=2;
x(17)=1.5;x(18)=1.5;x(19)=1.5;
x(24)=1;x(25)=1;
x(33)=3;x(34)=3;x(35)=3;
%%%%%%%%%%%%%%x2(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros(1,500);
x(1)=1;x(2)=1;x(3)=1;
x(9)=2;x(10)=2;x(11)=2;
x(16)=3;x(17)=3;x(18)=3;
x(24)=4;x(25)=4;x(26)=4;
x(33)=3;x(34)=3;x(35)=3;
x(41)=2;x(42)=2;x(43)=2;
x(49)=1;x(50)=1;x(51)=1;
%%%%%%%%%%%%%%x3(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n=1:500;
T=0.2;
x=sin(n*T);
hlp=mfilt.firdecim(2,h0);
hhp=mfilt.firdecim(2,h1);
glp=mfilt.firinterp(2,g0);
ghp=mfilt.firinterp(2,g1);
x0=filter(hlp,x);
x0=filter(glp,x0);
x1=filter(hhp,x);
x1=filter(ghp,x1);
xidle=x0+x1;
xshift=[zeros(1,N) x(1:end-N)];
e=xidle-xshift;
mes=sum(abs(e).^2)/length(e)
fvtool(h0)
%%%%%%%%%%%%输入信号%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(4);
plot(x);
%%%%%%%%%%理想输出信号与重建输出信号%%%%%%%
figure(5);
axis([0,500,-1,1]);
plot(xshift,'r');hold on;
plot(xidle,'-');
axis([0,600,-1.1,1.1]);
%%%%%%%理想输出信号与重建输出信号的偏差%%%%%%
理想输出信号与重建的输出信号的偏差
figure(6);
plot(xshift-xidle);实验结果
滤波器
和
的幅度响应
幅度响应关系误差
幅值响应
输入信号
理想输出信号（红色线）与重建的输出信号（蓝色线）
理想输出信号与重建输出信号的偏差
