算法期末备考二（动态规划）

目录

基础知识

例题一（矩阵连乘）

例题二（最长公共子序列）

例题三（01背包问题）

例题四（斐波那契数列）

例题五（股票买卖的最佳时机）

例题六（最长回文子串）

例题七（零钱兑换）

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基础知识

1、什么问题适合使用动规？

待求解问题可以划分为若干子问题，并且子问题之间不是相互独立的。

2、分治法存在的问题？

若求解子问题不是相互独立的，分治法会重复计算公共子问题，效率低。

3、动态规划的大致思路

保存已解决的子问题答案，从而避免大量重复计算，（本质就时利用空间换取时间）

4、动态规划的结构特征

• 优化子结构：当一个问题的优化解包含了子问题的优化解时，这个问题就具有优化子结构。优化子结构使得问题能够自下而上地被求解完成。
• 重叠子问题：求解问题的子问题相互之间不独立。

例题一（矩阵连乘）

【题目描述】

给定n个矩阵{A1,A2....An}（n<100），其中Ai与Ai+1是可以相乘的，判断这n个矩阵通过加括号的方式相乘，使得相乘的次数最少。

【输入说明】

输入第一行是一个正整数，表示有n个矩阵。之后有n行数字，每行由两个正整数组成，表示第i个矩阵的行数和列数，两个数字之间用一个空格间隔。

【输出说明】

输出只有一个正整数，表示最少的相乘次数

【输入样例】

3

2 3

3 2

2 4

【输出样例】

28

#include 
#define N 20
void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){
  int i,j,t,k;
  int r;
  for(i=1;i<=n;i++){
    m[i][i]=0;
  }
  
  for(r=2;r<=n;r++){
      
    for(i=1;i<=n-r+1;i++){
      j=i+r-1;
      m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
      s[i][j]=i;

      for(k=i+1;k

例题二（最长公共子序列）

问题描述：

给定2个序列X={x1, x2, .., xm}和Y={y1, y2, .., yn}求X和Y的最长公共自序列。

可以参考力扣1143题，1143.最长公共子序列。

以力扣题目为原型进行实现，注意力扣中用的核心代码模式，考到记得补充输入输出。

时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(mn)

// 力扣题目中是字符数组，如果考到int类型的数组也是同样操作
int longestCommonSubsequence(char* text1, char* text2) {
    // 计算数组长度
    int m = strlen(text1), n = strlen(text2);
    // dp数组，1.  dp[i][j] 表示text1的0 - i-1和text2的0 - j-1的公共子序列长度
    int dp[m + 1][n + 1];
    // 将dp数组全初始化为0，需要导入头文件string.h
    // 提到头文件建议做题之前多导一些头文件
    // #include  #include  #include  #include #include 
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    // 遍历顺序就是从上到下一行一行的遍历dp数组
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        char c1 = text1[i - 1]; // 这里事先拿变量存了一下，可有可无
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            char c2 = text2[j - 1]; // 这里也是，就是拿变量存了一下
            // 下面就是递推公式
            // 两种情况，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，
            // 相同的时候就用没有text1[i - 1] 和 text2[j - 1]的最大长度（即dp[i - 1][j - 1]）加一
            // 不相同的时候就是从没有text1[i - 1]的最大长度（即dp[i - 1][j]）和没有text2[j - 1]的最大长度（即dp[i][j - 1])）选一个最大的。
            if (c1 == c2) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                // 用fmax记得导包 #include 
                dp[i][j] = fmax(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

例题三（01背包问题）

问题描述：
（1）给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值为vi,背包的容量为C。问
应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品 的总价值最大？
（2）0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题（要求背包容量，物品重量必须
是正整数）。

二维dp数组实现方式，时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n^2)

#include 
#include 
#include 

#define MAX(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))
#define ARR_SIZE(a) (sizeof((a)) / sizeof((a)[0]))
#define BAG_WEIGHT 4

void backPack(int* weights, int weightSize, int* costs, int costSize, int bagWeight) {
    // 开辟dp数组
    int dp[weightSize][bagWeight + 1];
    // dp数组初始化为0
    memset(dp, 0, sizeof(int) * weightSize * (bagWeight + 1));
    
    int i, j;
    // 当背包容量大于物品0的重量时，将物品0放入到背包中，即初始化第一行
    for(j = weights[0]; j <= bagWeight; ++j) {
        dp[0][j] = costs[0];
    }

    // 先遍历物品，再遍历重量，即从上到下一行一行进行遍历
    for(j = 1; j <= bagWeight; ++j) {
        for(i = 1; i < weightSize; ++i) {
            // 如果当前背包容量小于物品重量
            if(j < weights[i])
                // 背包物品的价值等于背包不放置当前物品时的价值
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            // 若背包当前重量可以放置物品
            else
                // 背包的价值等于放置该物品或不放置该物品的最大值
                dp[i][j] = MAX(dp[i - 1][j],  dp[i - 1][j - weights[i]] + costs[i]);
        }
    }

    printf("%d\n", dp[weightSize - 1][bagWeight]);
}

int main(int argc, char* argv[]) {
    int weights[] = {1, 3, 4};
    int costs[] = {15, 20, 30};
    backPack(weights, ARR_SIZE(weights), costs, ARR_SIZE(costs), BAG_WEIGHT);
    return 0;
}

一维滚动数组实现，时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)

#include 
#include 

#define MAX(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))
#define ARR_SIZE(arr) ((sizeof((arr))) / sizeof((arr)[0]))
#define BAG_WEIGHT 4

void test_back_pack(int* weights, int weightSize, int* values, int valueSize, int bagWeight) {
    // 同样是dp数组然后初始化
    int dp[bagWeight + 1];
    memset(dp, 0, sizeof(int) * (bagWeight + 1));

    int i, j;
    // 先遍历物品
    for(i = 0; i < weightSize; ++i) {
        // 后遍历重量。从后向前遍历
        for(j = bagWeight; j >= weights[i]; --j) {
            // 这里是递推公式，可以理解为取 放入当前物品(dp[j - weights[i]] + values[i]) 或 不放入当前物品(dp[j]) 总价值中最高的一个
            dp[j] = MAX(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
        }
    }

    // 打印最优结果
    printf("%d\n", dp[bagWeight]);
}

int main(int argc, char** argv) {
    int weights[] = {1, 3, 4};
    int values[] = {15, 20, 30};
    test_back_pack(weights, ARR_SIZE(weights), values, ARR_SIZE(values), BAG_WEIGHT);
    return 0;
}

例题四（斐波那契数列）

#include 
#include 

int f(int n){
    int dp[100],sum=0;
    dp[0] =1;
    dp[1] =1;

    int i;
    for(i=2;i<=n;i++){
        dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];

    }
    for(i=0;i

例题五（股票买卖的最佳时机）

力扣股票系列的原题，直接基于力扣上的题目进行分析。

题目链接：121. 买卖股票的最佳时机

#define Max(a,b) (a>b?a:b)

int maxProfit(int* prices, int pricesSize){
    int max=0;//记录最大值
    int sum=0;//记录子序列和
    for(int i=0;i

例题六（最长回文子串）

本题在力扣上有两种，ppt中式返回子串，还有一种式返回子串长度。

先对返回子串长度的题目进行分析，题目链接：516.最长回文子序列

int longestPalindromeSubseq(char* s) {
    int n = strlen(s);
    // 定义dp数组，dp[i][j] 表示字符串s在[i,j]范围内最长回文子序列的长度
    int dp[n][n];
    memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始化为0
    // 遍历顺序是从下往上一行一行的进行遍历
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        dp[i][i] = 1; // 这里因为单个字母肯定式回文串，所以做个初始化
        char c1 = s[i];
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            char c2 = s[j];
            // 这里是递推公式，具体思路和上面公共子序列类似。
            if (c1 == c2) {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
            } else {
                dp[i][j] = fmax(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[0][n - 1];
}

还有一种是返回子串，题目链接

力扣代码，分析的很到位了。

char * longestPalindrome(char * s){
    //回文串结束下标
    int j;
    //最长回文串长度
    int maxLength = 1;
    //回文串起始位置
    int begin = 0;
    int len = strlen(s);
    // dp[i][j] 表示 s[i..j] 是否是回文串
    bool dp[len][len];

    //0.初始化：所有长度为 1 的子串都是回文串 
    for (int i = 0; i < len; i++) { 
        dp[i][i] = true; 
    }

    //1.长度为 1 的一定是回文串，故长度从 2 开始
    for(int l = 2; l <= len; l++){
        //2.起始位置从 0 开始
        for(int i = 0; i < len; i++){
            ///结束位置
            j = i + l - 1;

            //3.注意数组越界，注意 等于
            if (j >= len) {
                break;
            }

            //回文串首尾字母不相同
            if (s[i] != s[j]) {
                dp[i][j] = false;
            } else {
                //回文串小于 3 个字符（ 3 个字符内首尾相等即为回文串）
                if (j - i < 3) {
                    dp[i][j] = true;
                } else {
                    //回文串大于两个字符
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                }
            }

            //4.只要 dp[i][L] == true 成立，就表示子串 s[i:L] 是回文，此时记录回文 长度 和 起始位置
            if (dp[i][j] && l > maxLength) {
                maxLength = l;
                begin = i;
            }
        }
    }
    //设置结束位置
    s[begin + maxLength] = '\0';
    return s + begin;
}

例题七（零钱兑换）

力扣原题，题目链接：322. 零钱兑换

直接贴力扣代码吧，这里记得导头文件 limits.h

int min_fun(int a, int b)
{
        int c = a=coins[j] && f[i-coins[j]]!=INT_MAX)
            {
                //2、转移方程
                f[i] = min_fun(f[i],f[i-coins[j]]+1);
            }
        }
    }
    //当凑不出时，f[amount]仍然为INT_MAX，我们需要赋值为-1，最后返回f[amount]
    if(f[amount] == INT_MAX)
        f[amount] = -1;

        return f[amount];

}

例题八（爬楼梯）

n层台阶，一次可爬一阶或两阶，问第n阶有几种爬法

#include 
#include 

int f(int n){
    int dp[100],sum=0;
    dp[1] =1;
    dp[2] = 2;

    int i;
    for(i=3;i<=n;i++){
        dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];

    }

    return dp[n];
}

int main()
{
    int n,s;
    scanf("%d", &n);

    s = f(n);
    printf("%d", s);
    return 0;
}

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