第二重要极限公式推导过程_土木考研 土力学第六章公式推导

挡土墙后土压力的各种计算可以说是延续了第五章的理论，是抗剪强度理论的实际应用，具有重要意义。

本章重点：

(1)静止土压力、主动土压力、被动土压力的概念、区别、计算公式

(2)朗肯土压力理论的原理、假设、计算方法

(3)库伦土压力理论的原理、假设、计算方法

(4)挡土墙背填土面上不同工况下的土压力计算方法、公式

(5)挡土墙的分类、特点、设计方法与步骤

(6)挡土墙抗倾覆、抗滑动稳定性验算方法

(7)新型挡土墙设计的原理与方法

明确两大基本理论：刚性挡土墙（理论力学刚体概念）经典土压力理论——朗肯土压力理论和库伦土压力理论。两种土压力理论都是基于土的抗剪强度理论。

朗肯土压力理论从土体中一点的极限平衡条件出发得到主动和被动两种极端情况下的土压力计算公式。

库伦土压力理论是根据滑动楔体的极限平衡条件出发得到两种土压力的计算公式。

要理解土压力，首先要知道——什么是挡土墙？挡土结构物是土木、水利、建筑、交通等工程中的一种常见的构筑物，其目的是用来支挡土体的侧向移动，保证土结构物或土体的稳定性。它在土木工程领域里应用广泛，例如，道路工程中用来支挡边坡和路提稳定的挡土墙、桥梁工程中连接路堤的桥台、港口码头及基坑工程中的支护结构物。

各种形势挡土墙

土压力简而言之就是墙后土体作用在挡土墙上的力，土压力主要受挡土墙位移方向和大小影响。根据挡土墙位移方向、大小，土压力分为：静止土压力、主动土压力、被动土压力。

挡土墙位移与土压力

静止土压力：挡土墙不发生任何位移(△=0)，此时作用在墙上的土压力就是静止土压力。

主动土压力：挡土墙离开土体向前移动，土压力不断减小，当墙后土体出现破裂面时达到极限平衡状态，土压力为最小值，这就是主动土压力。

被动土压力：挡土墙挤压土体向后移动，土压力不断增大，当墙后土体出现滑动破裂面时达到极限平衡状态，土压力为最大值，这就是被动土压力。

3种土压力

各种土压力产生的条件

静止土压力的计算：

根据产生条件，挡土墙不发生任何位移，挡土墙背垂直且光滑，在半无限土体中，把土单元左侧土体以墙背代替，则此单元体应力状态不变，竖向应力仍然是自重应力σz，水平应力为σx，为作用在挡土墙上的静止土压力σ0。

σ0=σx=K0γz

注意这个静止土压力是强度值，强度值在1m宽的挡土墙上的合力值为E0

静止土压力强度σ0的分布和静止土压力合力E0的位置和大小，与土层、地下水密切相关

静止土压力推导示意图

静止土压力分布

主动土压力计算和被动土压力计算涉及到两大挡土墙经典理论，首先我们来介绍这两种理论

朗肯土压力理论

基本假设与原理

(1)墙背垂直光滑，不考虑墙背摩擦力

(2)挡土墙刚性，不考虑挡土墙变形

(3)墙后土体表面为平面且为无限体

原理：莫尔-库伦强度理论、极限平衡条件、抗剪强度理论、莫尔应力圆

多种表示方法：既可以用土单元的应力状态和挡土墙的位移状态来表示主动土压力与被动土压力，还可以通过抗剪强度包线和应力圆的位置关系描述。

计算公式推导：

朗肯主动土压力：

朗肯被动压力：

上述是最简单的主动被动土压力的计算，下面我们来说说几种典型情况下的朗肯土压力

(1)填土表面有超载：挡土墙后的土表有连续均布荷载q，相当于在深度z处的竖向应力增加q的作用，只要将γz增加增量q即可。计算公式为：

(2)成层填土的土压力：在土层的分界面上，由于两层土的抗剪强度指标不同，土压力系数不同，土压力分布有突变：

(3)挡土墙后填土有地下水的情况：挡土墙出了承受土压力作用，还受到水压力作用。要考虑水浮力作用，一般有“水土分算”和“水土合算”两种方法。对于砂土或粉土，按照水土分算方法，对于黏性土则两种方法都可以。

①水土分算

②水土合算

库伦土压力理论：

库伦土压力理论

计算简图

土楔体受力

根据滑动土楔体ABC静力平衡条件，由正弦定理得

由上图计算简图可得

将上式带入上上式子得

由上式解得α值，并带入上上式，可以得到库伦主动土压力计算公式

实际工程应用：