点扩散函数（PSF）的模型及求取

点扩散函数以及光学传递函数

点扩散函数

根据光学理论，光学成像系统物面上任意一理想点产生的光振动为单位脉冲（$\delta$函数)，对应的像函数称为光学系统的脉冲响应，或点扩散函数（顾德门，2006)。点物的脉冲函数用$\delta (x-x_0，y-y_0)$表示，相应的脉冲响应表示成
$$h\left(x_0,y_0;x_i,y_i\right)=L\left\{\delta \left(x-x_0,y-y_0\right)\right\}$$

等式右边L{ }表示线性系统的脉冲响应。对于任意物函数$f(x_0,y_0)$，可以把它看成是由物平面上许多理想点组成，每个理想点具有相同的脉冲响应。由于成像系统是线性系统，当用平面光照射时，其像平面上光场的复振幅分布$g(x_i,y_i)$可以用叠加积分表示成
$$h\left(x_0,y_0;x_i,y_i\right)=L\left\{\delta \left(x-x_0,y-y_0\right)\right\}g\left(x_i,y_i\right)=\iint f\left(x_0,y_0\right)h\left(x_0,y_0;x_i,y_i\right)\mathrm{d}{x}_0\mathrm{d}{y}_0$$
​ 利用点扩散函数概念可对光学系统的分辨率作出判据，例如，对于两个点源组成的物，在像平面上的强度分布是相应两个点扩散函数的叠加。当两点源距离小于点扩散函数的半宽度即点扩散函数第一零点的半径时，两点源在像平面上不能分辨。因此，只要能够确定成像系统的点扩散函数$h(x_0,y_0;x_i,y_i)$，就能完备地描述该成像系统的性质(冈萨雷斯，2003)。图像复原是光学系统成像的逆过程，所以确定成像系统的点扩散函数对于图像复原也有着重要的实际意义。

光学传递函数

​ 光学传递函数和调制传递函数光学传递函数评价光学系统的成像质量，是基于把物体看成由各种频率的谱组成的，也就是把物体的光场分布函数展开成傅里叶级数或傅里叶积分的形式。定义P(x，y)为光瞳函数，光学传递函数表示成（顾德门, 2006）
$$H_O(u,v)=\frac{\iint P^{\ast }(x,y)P\left(x+\lambda d_{i}u,y+\lambda d_{i}v\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint P(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$$
​ 光学传递函数Ho(u，v）的模│Ho(u，v)|称为调制传递幽数（modulation tranSszerfunction，MTF)，其幅角称为相位传递函数（phase transfer function，PTF)。光学传递函数还可表示成
$$H_{\mathrm{O}}(u,v)=\left|H_{\mathrm{O}}(u,v)\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi (u,v)}$$
​ 若把光学成像系统看成线性不变的系统，那么物体经过光学系统成像，可视为物体经过光学系统传递后，其传递效率不变，但对比度下降，相位发生偏移，并在某一频率截止，即对比度为零。这种对比度的降低和相位偏移是随频率不同而不同的，其函数关系称之为光学传递函数。光学传递函数是反应物体不同频率成分的传递能力。一般来说，高频部分反映物体的细节传递情况，中频部分反映物体的层次传递情况，低频部分又反映物体的区域信息传递情况。
点扩散函数是点光源经光学系统后所成的衍射斑的分布函数，它在空域表征光字系统的特性，而光学传递函数在频域表征系统的特性。两者有简单关系，点扩散函数的傅里叶变换即为光学传递函数。点扩散函数、光学传递函数、调制传递函数三者的关系简写如下:
$$\mathrm{O}\mathrm{T}\mathrm{F}=F\{\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{F}\},\mathrm{M}\mathrm{T}\mathrm{F}=|\mathrm{O}\mathrm{T}\mathrm{F}|$$
​ 点扩散函数和光学传递函数已知其中任何一个，即可根据式(5-5）计算另两个。在图像复原处理中，点扩散函数用于表述空间域图像复原，光学传递函数可用于频率域图像复原。

图像的点扩散函数先验模型及参数表达

​ 图像降质是一个物理过程，在许多情况下点扩散函数可以从物理知识和观测图像来辨识。在辨识点扩散函数时，下面的先验知识是可利用的（邹谋炎，2001)：

(1) h(m, n)是确定性的和非负的;

(2) h(m, n)有有限支持区域;

(3）降质过程不损失图像的能量，即$\sum \sum h(m,n)=1$。
在实际问题中还可以列出更多的先验知识，如h(m，n)的对称性、高斯形或散焦型等。本节将介绍自适应光学图像中几种常见点扩散函数的特性，同时介绍最简单的辨识方法。

线性移动点扩散函数

​ 线性移动点扩散函数可以描述成像系统和目标之间由相对匀速直线运动造成图像降质。水平方向线性移动点扩散函数可以用以下函数来描述（Reginald et al.，2006):

散焦点扩散函数

几何光学分析表明，由于光学系统散焦而造成图像降质的点扩散函数是一个均匀分布的圆形（或方形）光斑，见图5.2(a)。这个模型虽然显得过分简单，但是图像复原的实践证明了其合理性。这种点扩散函数可以表示为（Reginald et al.，2006):
$$h(m,n)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi R^2},& m^2+n^2⩽R^2\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$
式中，R是散焦光斑的半径。那么，h(m，n）的傅里叶变换为（见图5.2(b)):
$$H(u,v)=2\pi R\frac{J_1\left(R\sqrt{u^2+v^2}\right)}{\sqrt{u^2+v^2}}$$
​ 式中，J(·）表示一阶第一类 Bessel函数。H(u，v）是圆对称的，它的第一个过零点的轨迹形成-一个圆，假设该圆的半径为d,，则有
$$R=\frac{3.83L_0}{2\pi d_r}$$
​ 式中，假定计算离散傅里叶变换的尺寸是L×L。这样，可以计算退化图像的离散傅里叶变换。如果退化图像的信噪比较高，在退化图像频域图上应该能观察到圆形轨迹。从该图上测出d,，即可根据式(5-10）计算得到散焦斑半径R，从而决定散焦点扩散函数。

高斯型点扩散函数

此为常见的PSF。

光学像差的PSF获取

基于光学仿真软计算PSF

​ 使用zemax。

基于标定的PSF估计

参考文献

[1] 耿则勋，陈波，王振国等著. 自适应光学图像复原理论与方法[M]. 2010: 210.