统计信号处理基础 习题解答6-16

题目：

在实现定理6.1描述的线性模型的BLUE中，我们可能不知道错误的使用了协方差矩阵而形成了估计，即：

为了考察这种模型误差的影响，假定我们希望像例6.2那样估计A。求这个估计量的方差，以及在N=2,且

时BLUE的方差。比较当α→0 ，α=1 和α→∞ 时的方差。

解答

根据例题6.2，得到A的BLUE为：

其中：

此时错误的使用了协方差矩阵，得到：

因此：

上式不管C 的取值，始终成立。因此就算使用了错误的 ，得到的BLUE仍然是无偏估计。

由于 是单个元素，因此：

利用题目条件，将 和 代入，得到错误使用下：

由于α>0 ，因此：

当 时取最小值，此时：

而当α→0 ，或者α→∞ 时

此时，对于N=2，即两个数据样本情况下，其中有一个数据样本的方差发生错误(α≠1),此时最差的BLUE方差将是最小方差的两倍。