基于MATLAB的稀疏矩阵与符号求解线性方程组（附完整代码）
前言
前面文章已经更新了至少三种求解线性方程组的MATLAB指令，分别是：
- 逆矩阵法：x=inv(A)*b，或者写成 x=A^(-1)*b
- 伪逆法：x=pinv(A)*b
- 左除法：x=A\b
本节将更新另外两种方法，符号矩阵法与稀疏矩阵求解法。
一. 符号解法
在MATLAB的Symbolic Toolbox中提供了线性方程的符号求解函数，MATLAB格式如下：
linsolve(sym(A),sym(b)) %结果默认小数表示还有另外一种函数也可以，形式如下：
X=sym(A)\sym(b) %默认分数形式结果显示又或者是直接写成多个方程的形式，如下：
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')例题1
利用两种不同的方法求解如下方程组：
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
A=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10];
b=[9;7;6];
ans1=linsolve(A,b) %方法一
ans2=sym(A)\sym(b) %方法二运行结果：
ans1 =
0.9958
0.9579
0.7916
ans2 =
473/475
91/95
376/475
二. 稀疏矩阵的生成
2.1 基本方法生成稀疏矩阵
稀疏矩阵，在数值分析中，是其元素大部分为零的矩阵。反之，如果大部分元素都非零，则这个矩阵是稠密的。在科学与工程领域中求解线性模型时经常出现大型的稀疏矩阵。
稀疏矩阵在MATLAB建立的格式，如下：
S=sparse(i,j,s,m,n)此代码可以生成
阶的稀疏矩阵，以向量i和j为坐标的位置上对应的元素值为s。
例题2
利用MATLAB生成任意
的稀疏矩阵。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=5;
A=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n)%生成的结果中，第一列代表位置，第二列代表元素运行结果：
A =
(1,1) 4
(2,2) 4
(3,3) 4
(4,4) 4
(5,5) 4
例题3
利用MATLAB生成任意稀疏矩阵，要求里面非零元素仅有四个，且利用full()函数将结果表示成完整的矩阵。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=5;
A=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);
full(A)运行结果：
ans =
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
例题4
n=5，利用稀疏矩阵建立主对角线上元素为4，两条次对角线为1的三对角矩阵。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=5;
A1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); %主对角线
A2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); %上对角线
A=full(A1+A2+A2') %分别代表三条对角线运行结果：
A =
4 1 0 0 0
1 4 1 0 0
0 1 4 1 0
0 0 1 4 1
0 0 0 1 4
2.2 指定列生成稀疏矩阵
生成阶稀疏矩阵，且把B的列放在由d指定的位置。MATLAB代码如下：
A=spdiags(B,d,m,n)例题5
利用spdiags()函数生成例题4中的矩阵。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=5;
A=spdiags([ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1)],[-1,0,1],n,n);
%此例子B有三列，0代表正对角线
full(A)运行结果：
ans =
4 1 0 0 0
1 4 1 0 0
0 1 4 1 0
0 0 1 4 1
0 0 0 1 4
2.3 无规律的稀疏矩阵
对于无规律的稀疏矩阵，可以使用以下MATLAB指令将外部数据转化为稀疏矩阵：
A=spconvert(dd)备注：上述格式中的dd为文件名，可根据实际情况进行修改
调用的形式：先用load函数加载以行表示对应位置和元素值的.dat文本文件，再利用上述命令将其转化为稀疏矩阵。
三. 稀疏矩阵的计算
同满矩阵相比，稀疏矩阵在算法上有很大的不同，其中就包括存储空间减少，计算时间减少。
例题6
利用稀疏矩阵和满矩阵两种方法来比较求解下面方程组时的区别。（n=1000)
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=1000;
A1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);
A2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);
A=A1+A2+A2';
b=ones(1000,1);
%稀疏矩阵求解
tic;x=A\b;
t1=toc %运行时间
%满矩阵求解
a=full(A);
tic;x=a\b;
t2=toc运行结果：
t1 =
0.0012
t2 =
0.0180
备注：不同的MATLAB版本，每次运行的时间可能会略微有区别
分析：稀疏矩阵求解运行的时间会更短
四. 四种稀疏矩阵求解方程法
4.1 最小残差法
最小残差法可以求取线性方程组Ax=b的最小范数解x。MATLAB格式如下：
x=minres(A,b,tol,maxit) 此函数要求
的稀疏矩阵A必须为对称的，但无需是正定的。列向量b的长度要求为n。此函数中的“tol"代表精度，”maxit"代表预计最大迭代次数。
例题7
将例题6中的稀疏矩阵A的1全改为-2，n的值改为100，方程组右侧b的第一项为2，最后一项为2，其余均为零。剩下的条件与例题6保持不变，利用minres函数求解此方程组。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=100;
on=ones(n,1);
A=spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n);
%主对角全为4，上下对角线全为-2
b=sum(A,2);
tol=1e-10;
maxit=100;
x=minres(A,b,tol,maxit);
%结果较长就不显示了，看看最后的实际迭代次数与相对误差运行结果：
minres 在解的 迭代 50 处收敛，并且相对残差为 4.7e-14。
4.2对称的LQ方法
对称的LQ方法尝试针对x对线性方程组Ax=b求解。前提要求和最小残差法要求一样，的稀疏矩阵A必须为对称的，但无需是正定的。列向量b的长度要求为n。此函数中的“tol"代表精度，”maxit"代表最大迭代次数。MATLAB调用格式，如下：
x=symmlq(A,b,tol,maxit)例题8
此题条件和例题7完全一样，将调用求解函数改为symmlq()，求解此函数的实际迭代次数和相对误差。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=100;
on=ones(n,1);
A=spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n);
%主对角全为4，上下对角线全为-2
b=sum(A,2);
tol=1e-10;
maxit=100;
x=symmlq(A,b,tol,maxit);
%结果较长就不显示了，看看最后的实际迭代次数与相对误差运行结果：
symmlq 在解的 迭代 49 处收敛，并且相对残差为 4.3e-15。
4.3 双共轭梯度法
第三个可调用的函数形式如下：
x=bicg(A,b,tol,maxit)例题9
此题条件将例题7中上三角的-2改为-1，其他不变，利用函数bicg()，求解此函数的实际迭代次数和相对误差。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=100;
on=ones(n,1);
A=spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n);
%主对角全为4，上下对角线全为-2
b=sum(A,2);
tol=1e-8;
maxit=100;
x=bicg(A,b,tol,maxit);
%结果较长就不显示了，看看最后的实际迭代次数与相对误差运行结果：
bicg 在解的 迭代 36 处收敛，并且相对残差为 5.9e-09。
4.4 LSQR方法
LSQR方法尝试为x对线性方程Ax=b求解，否则将尝试计算使得norm(b-A*x)最小的最小二乘解x。其中系数矩阵A无需为方阵，要求为大型稀疏矩阵。列向量b的长度要求为m。MATLAB的调用形式如下：
x=lsqr(A,b,tol,maxit)例题10
此题条件和例题9完全一样，将调用求解函数改为lsqr()，求解此函数的实际迭代次数和相对误差。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
n=100;
on=ones(n,1);
A=spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n);
%主对角全为4，上下对角线全为-2
b=sum(A,2);
tol=1e-8;
maxit=100;
x=lsqr(A,b,tol,maxit);
%结果较长就不显示了，看看最后的实际迭代次数与相对误差运行结果：
lsqr 在解的 迭代 62 处收敛，并且相对残差为 9.5e-09。
总结
到目前为止，有关线性方程组的解法已经更新完了，现在做一点点总结。
- 通常情况下，利用逆矩阵法和左除法得到的均是数值解。若要得到解析解，需要将数值矩阵转化为符号矩阵。
- 左除法比逆矩阵法具有更好的数值稳定性，更快的运算速度。而且左除法还适合A不是方阵的情况
- 当矩阵A接近奇异矩阵时，逆矩阵法和左除法可能会得出错误的结果。这时需要参考其他方法