HDU 4947 GCD Array 容斥原理+树状数组

GCD Array

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Problem Description

Teacher Mai finds that many problems about arithmetic function can be reduced to the following problem:

Maintain an array a with index from 1 to l. There are two kinds of operations:

  1. Add v to a _x for every x that gcd(x,n)=d.
  2. Query

 

 

Input

There are multiple test cases, terminated by a line "0 0".

For each test case, the first line contains two integers l,Q(1<=l,Q<=5*10^4), indicating the length of the array and the number of the operations.

In following Q lines, each line indicates an operation, and the format is "1 n d v" or "2 x" (1<=n,d,v<=2*10^5,1<=x<=l).

 

 

Output

For each case, output "Case #k:" first, where k is the case number counting from 1.

Then output the answer to each query.

 

 

Sample Input

6 4

1 4 1 2

2 5

1 3 3 3

2 3

0 0

 

 

Sample Output

 

Case #1:

6

7

 

 

Author

xudyh

 

 

Source

2014 Multi-University Training Contest 8 

 

 题意：2个操作

         在长度长度为len的数组操作

         1 n v d 给数组x下标满足 gcd(x,n)=d的对应位置+v.

         2 x 询问数组sum(a1,,,ax)的和

思路：如果一个一个更新是会超时的。

        方法大致是这样，首先和GCD（）问题类似，从反面着手，首先全部数字+v，然后在gcd（x,n)!=d的位置-v。

        gcd（x,n) = d 可以转化为gcd(x/d,n/d)=1; 转化为求互质。这个应该容易理解些。

        现在我设立一个数组a[ ] ,a[i] 代表的意思是 gcd（x,n)为i的倍数的时候的方案数。

　　  那么原来的问题，N = n/d ，现在就分解N的素因子，并进行容斥。比如6 ： 2 ， 3 ， -6.

        首先在所有的数字上加v，然后用容斥的结果在数组上进行对不互质的地方进行-v。

        举一个例子。

　　  比如len = 10 ， gcd（x,6) = 2; ==> gcd(x/2,3)=1;

       那么我们只能在[1-10/2]进行更新。

       求得的容斥结果为 2 ， 3， -6.那么首先我们在所有的数字上+v，就是a[d]=v,(a[2]=v);

       然后在2*d上减去v，3*d上减去v，6*d上加上v。就是这样。

       至于为什么要*d，这个思考一下就会知道的。

       这就是第一个操作了。

       第二个操作就是询问数组【1-x】的和，转化为求数组在a[i]有多少个 x/i 个。

       就是sum(a[i]*x/i) ;由于 x/i 我们能用sqrt（）的算法来做。这里也就牵涉到求和，用树状数组。

       代码比较挫，几乎是压线过。

      

  1 #include<iostream>

  2 #include<stdio.h>

  3 #include<cstring>

  4 #include<cstdlib>

  5 using namespace std;

  6 typedef __int64 LL;

  7 

  8 const int maxn = 50000+3;

  9 const int INF = 2e5+3;

 10 LL p[maxn];

 11 bool s[INF];

 12 int prime[17985],len;

 13 

 14 void Init()

 15 {

 16     len = 0;

 17     memset(s,false,sizeof(s));

 18     for(int i=2;i<INF;i++)

 19     {

 20         if(s[i]==true)continue;

 21         prime[++len] = i;

 22         for(int j=i+i;j<INF;j=j+i)

 23         s[j]=true;

 24     }

 25 }

 26 void add(int x,int n,int num1)

 27 {

 28     for(int i=x;i<=n;i=i+(i&(-i)))

 29     p[i] = p[i] + num1;

 30 }

 31 LL query(int x)

 32 {

 33     if(x==0)return 0;

 34     LL sum1 = 0;

 35     while(x)

 36     {

 37         sum1=sum1+p[x];

 38         x=x-(x&(-x));

 39     }

 40     return sum1;

 41 }

 42 int Q[5003],yz[1000],ylen,qlen;

 43 void init(int n)

 44 {

 45     ylen = qlen = 0;

 46     for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=n;i++)

 47     {

 48         if(n%prime[i]==0)

 49         {

 50             while(n%prime[i]==0) n=n/prime[i];

 51             yz[++ylen] = prime[i];

 52         }

 53     }

 54     if(n!=1) yz[++ylen] = n;

 55     Q[0]=-1;

 56     for(int i=1;i<=ylen;i++)

 57     {

 58         int k = qlen;

 59         for(int j=0;j<=k;j++)

 60         Q[++qlen] = -1*Q[j]*yz[i];

 61     }

 62 }

 63 int main()

 64 {

 65     int n,m,hxl,d,v,size1,x,T=0;

 66     Init();

 67     while(scanf("%d%d",&n,&m)>0)

 68     {

 69         if(n==0&&m==0)break;

 70         memset(p,0,sizeof(p));

 71         printf("Case #%d:\n",++T);

 72         while(m--)

 73         {

 74             scanf("%d",&size1);

 75             if(size1==1)

 76             {

 77                 scanf("%d%d%d",&hxl,&d,&v);

 78                 if(hxl%d!=0)continue;

 79                 hxl = hxl /d;

 80                 int tom = n/d;

 81                 add(d,n,v);

 82                 init(hxl);

 83                 for(int i=1;i<=qlen;i++)

 84                 if(Q[i]<0) {

 85                     Q[i] = -Q[i];

 86                     if(Q[i]>tom)continue;

 87                     add(Q[i]*d,n,v);

 88                     }

 89                 else {

 90                     if(Q[i]>tom)continue;

 91                     add(Q[i]*d,n,-v);

 92                 }

 93             }

 94             else{

 95                 scanf("%d",&x);

 96                 LL sum1 = 0;

 97                 for(int i=1,la=0;i<=x;i=la+1){

 98                     la = x/(x/i);

 99                     sum1 = sum1 + (query(la)-query(i-1))*(x/i);

100                 }

101                 printf("%I64d\n",sum1);

102             }

103         }

104     }

105     return 0;

106 }