高等数学笔记(上)

函数与极限

基本初等函数

• 幂函数：$f(x)=x^{\mu }(\mu \in R是常数)$
• 指数函数：$f(x)=a^x(a>0且a\ne 1)$
• 对数函数：$f(x)={\log }_{a}x(a>0且a\ne 1)$
• 三角函数：$如f(x)=\sin x,f(x)=\cos x,f(x)=\tan x$
• 反三角函数：$如f(x)=\arcsin x$
  由常数和基本初等函数经过有限次的四则运和有限次的复合算得到的函数成为初等函数。
  结合欧拉公式，其实上面的函数也没那么"基本"，指数函数和三角函数是可以相互转化的：$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

双曲函数

这个和高等数学其实没啥关系，但是这东西有点意思，就在这里放一下。

• $\mathrm{sh}x=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
• $\mathrm{ch}x=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
  
  $\cosh x$是悬链线函数，即两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状。
  三角函数(圆函数)性质：${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$
  双曲函数性质: ${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$
  这个可能也是他们名字的由来，三角函数涨的像圆的方程，双曲函数长得像双曲线的方程。
  圆函数在实数域是周期函数，但是双曲函数不是。然而$\mathrm{sh}x=-i\sin ix$，从这个角度看，$\mathrm{sh}x$在复数域也是周期函数。
  $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}{e}^{ix}=\cos x+i\sin x（欧拉公式，证明可以通过泰勒展开来看）\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{array}\\ ⟹& \{\begin{array}{l}\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ \sin ix=\frac{e^{-x}-e^x}{2i}\end{array}\\ ⟹& \mathrm{sh}x=-i\sin ix\end{array}$$
  双曲函数的加减法也有类似于三角函数的形式，举个例子
  $$\mathrm{sh}(x+y)=\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y+\mathrm{ch}x\mathrm{sh}y$$

Q: $e=2.718281828459,\pi =3.1415926$是自然界最重要的两个无理数，是自然界或者数学上的什么假设使得他们是这个取值？是否存在一个世界，$e,\pi$取其他值，这样的世界中的什么公理和我们的世界是不同的?

函数的极限

定义1: 自变量趋于$x_0$时的极限
设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义.如果存在常数$A$,对于任意给定的正数$\epsilon$(无论它多么小)，总存在正数$\delta$,使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式
$|f(x)-A|<\epsilon$,
那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(当x\to x_0)$$
这里需要注意的是，定义中$0<|x-x_0|$表示$x\ne x_0$，所以$x\to x_0$时，$f(x)$有没有极限，与$f(x)$在点$x_0$是否有定义没有关系。例如$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处无定义，但是有极限为2.
函数的单侧极限:如果考虑$x$仅从$x_0$的左侧趋于$x_0$，记作$x\to x_0^{-}$的情形，如果对于任意小的$\epsilon$，都存在正数$\delta$，使得$x_0-\delta <x<x_0$，都满足$|f(x)-A|<\epsilon$，那么$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的左极限，记作
$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }=A或f(x_0^{-})=A$$
右极限定义类似。
函数$f(x)$在$x_0$处有极限的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即$f(x_0^{-})=f(x_0^{+})$
定义2 :自变量趋于$\infty$时的极限
设函数$f(x)$在点$|x|$的大于某一正数时有定义.如果存在常数$A$,对于任意给定的正数$\epsilon$(无论它多么小)，总存在正数$X$,使得当$x$满足不等式$|x|>X$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式
$|f(x)-A|<\epsilon$,
那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to \infty$时的基线，记作
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(当x\to \infty )$$
定义：无穷小
如果函数$f(x)$当$x\to x_0(或x\to \infty )$时的极限为0，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0(或x\to \infty )$时的无穷小。
定理
在自变量的同一变化过程$x\to x_0(或x\to \infty )$中，函数$f(x)$具有极限$A$的充要条件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是无穷小。
定理
函数有限次四则运算和复合运算的极限是极限的相应的四则运算和符合运算。
$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B，则\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm B,\lim [f(x)g(x)]=AB,\lim [f(x)/g(x)]=A/B(B\ne 0)$
无穷小的四则运算
设$\alpha ,\beta 是无穷小，c是常数$，则$\alpha +\beta ,\alpha -\beta ,\alpha \ast \beta ,c\alpha ,\alpha /c$仍旧是无穷小。
夹逼定理
如果当$x\in \mathring{U}(x_0,r)或|x|>M$时，$g(x)\le f(x)\le h(x)$，且$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }g(x)=A,\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }h(x)=A$，那么$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }g(x)=A$
定义函数连续
设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$$，那么就称函数$y=f(x)$在点$x_0$处连续.
对应的含义是如果当$\Delta x$趋于0时，函数的对应增量$\Delta y$也趋于0，则称函数在$x_0$处连续。若$f(x_0^{-})=f(x_0)$，则称函数$f(x)在x_0$处左连续；若$f(x_0^{+})=f(x_0)$，则称函数$f(x)在x_0$处右连续。如果函数$f(x)$在一个区间上每个点都连续，则称函数$f(x)$在此区间上连续。
重要极限和推导
别慌：后面学了泰勒公式，直接使用泰勒展开，通用且容易多了。这里仅作为一个方法记录在此。
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }{\log }_a(1+x{)}^{\frac{1}{x}}={\log }_{a}e=\frac{1}{\ln a}\end{array} \\ {\log }_{\mathbf{a}}(1+\mathbf{x})\backsim \frac{1}{\ln \mathbf{a}}\mathbf{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t\ln a}{\ln (1+t)}(变量替换t=a^x-1)\\ & =\ln a\end{array} \\ {\mathbf{a}}^{\mathbf{x}}-1\backsim \ln \mathbf{a}\cdot \mathbf{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\mu }-1}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\mu }-1}{\ln (1+x{)}^{\mu }}\cdot \frac{\mu \ln (1+x)}{x}=\mu \end{array} \\ (1+\mathbf{x}{)}^{\mu }-1\backsim \mu \cdot \mathbf{x} \end{gathered}$$

微分中值定理与导数的应用

费马引理

设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，并且在$x_0$处可导，如果对任意$x\in U(x_0)$，有$f(x)\le f(x_0)$\ (或$f(x)\ge f(x_0)$)，那么$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$.
证明：不妨设$x\in U(x_0)$时，都有$f(x)\le f(x_0)$(对于$f(x)\le f(x_0)$，可以有类似推导).于是对于$f(x+\Delta x)\le f(x_0)$
当$\Delta x>0时$,
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\le 0$$
当$\Delta x<0时$,
$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\ge 0$$
根据函数$f(x)$在$x_0$处可导的条件和极限的保号性，便得到：
$$\begin{gathered} f^{{}^{\prime }}(x)=f_{+}^{{}^{\prime }}{x}_0=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\le 0 \\ {f}^{{}^{\prime }}(x)=f_{-}^{{}^{\prime }}{x}_0=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\ge 0 \end{gathered}$$
所以$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$
通常称导数为0的点为驻点(或稳定点，临界点)

罗尔定理

如果函数$f(x)$满足：

• (1)在$[a,b]$连续；
• (2)在$(a,b)$可导；
• (3)在端点处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$
  那么在$(a,b)$上至少有一点$\xi$，使得$f^{{}^{\prime }}(\xi )=0$

拉格朗日中值定理

罗尔定理中$f(a)=f(b)$这个条件相当特殊，使罗尔定理的使用收到限制，如果去掉$f(a)=f(b)$这个条件，就得到拉格朗日中值定理：
如果函数$f(x)$满足：

• (1)在$[a,b]$连续；
• (2)在$(a,b)$可导；
  那么在$(a,b)$上至少有一点$\xi (a<\xi <b)$，使得$$f^{{}^{\prime }}(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
  
  几何意义，中间至少存在一点使得斜率为AB两点连线斜率。
  同济版高等数学给出了一个基于罗尔定理的证明。实际上是不是也可以这样证明(但是所有参考资料都没这么证明的，可能有问题？)
  证明：
  因为$f(x)在(a,b)$上处处可导，对于$(a,b)$上任意一点$\rho$有$f^{{}^{\prime }}({\rho }_{-})=f^{{}^{\prime }}({\rho }_{+})$，所以实际上$f^{{}^{\prime }}(x)在(a,b)$上也是连续的。假设$f^{{}^{\prime }}(x)在(a,b)$上有最小值和最大值$\alpha ,\beta$，假设$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(AB连线的斜率)=\gamma$，有三种情况：
• $\gamma <\alpha <\beta$. $$f(b)=f(a)+{\int }_a^b{f}^{{}^{\prime }}(x)dx>f(a)+\gamma (b-a)=f(b)$$，矛盾；
• $\alpha <\beta <\gamma$.同上可证，也矛盾；
• $\alpha <\gamma <\beta$，只能是这种情况。因为$f^{{}^{\prime }}(b)$连续，所以$(a,b)$上至少存在一个点$\xi$，使得$$f^{{}^{\prime }}(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
  有限增量定理(微分中值定理)
  设$x$为区间$[a,b]$内一点，$x+\Delta x$为这区间内的另一点($\Delta x>0或\Delta x<0$)，则拉格朗日中值定理在区间$[x,x+\Delta x](当\Delta x>0时)$或在区间$[x+\Delta x,x](当\Delta x<0时)$上就成为$f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x(0<\theta <1)$。函数的微分$dy=f^{\prime }(x)\cdot \Delta x$是函数的增量$\Delta y$的近似表达式，一般说来以$dy$近似代替$\Delta y$是产生的误差只有当$\Delta x\to 0$时才趋于0；但是这个定理给糊了自变量取得有限增量$\Delta x(|\Delta x|$不一定很小时)，函数增量$\Delta y$的准确表达式。
  洛必达法则(L’Hospital Principle)
  设1)当$x\to a$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于0; 2)在点a的某去心邻域内$f^{\prime }(x)$及$F^{\prime }(x)$
  都存在且$F^{\prime }(x)\ne 0$; 3)$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$存在或者为无穷大，则
  $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$
  证明：由条件1，不妨设$f(a)=F(a)=0$(这样并不影响函数的连续性、和$x\to a$时的极限，并且这个也是为甚么洛必达法则只能用在分子分母都趋于0的场景)
  $$\begin{array}{rl}\frac{f(x)}{F(x)}& =\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{F^{\prime }({\xi }_2)}(其中a<{\xi }_1,{\xi }_2<x)\\ \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{F^{\prime }({\xi }_2)}& =\frac{f^{\prime }(a)}{F^{\prime }(b)}\end{array}$$

导数

定义
设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$（点$x_0+\Delta x$仍在该邻域内）是，相应的，因变量取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$；如果$\Delta y与\Delta x$之比当$\Delta x\to 0$时的极限存在，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f^{\prime }(x_0)$，即
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
基本初等函数导数

• 幂函数：$f(x)=x^{\mu }(\mu \in R),则f^{\prime }(x)=\mu x^{\mu -1}$
• 指数函数： $f(x)=a^x(a>0,a\ne 1,a\in R),则f^{\prime }(x)=a^x\ln a$
• 对数函数：$f(x)={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1,a\in R),则f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}\ln a$
• 三角函数：$f(x)=\sin x,f^{\prime }(x)=\cos x$
• 反三角函数：$f(x)=\arcsin x,f^{\prime }(x)=?$
  证明：
• 幂函数：
  $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(x+\Delta x{)}^{\mu }-x^{\mu }}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{x}^{\mu }\frac{(1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\mu }-1}{\Delta x}\\ & =\mu x^{\mu -1}\end{array}$$
• 指数函数：
  $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{a^{(x+\Delta x)}-a^x}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{a}^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ & =a^x\ln a\end{array}$$
• 对数函数
  $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\ln (1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\frac{1}{\Delta x}}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\ln (1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\frac{x}{\Delta x}}\\ & =\frac{1}{x}\end{array}$$
• 三角函数(也可以使用和差化积公式直接求)
  $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x(\cos \Delta x-1)+\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}+\frac{\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x(1-2{\sin }^2\frac{\Delta x}{2}-1)}{\Delta x}+\frac{\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}\\ & =\cos x\end{array}$$
  隐函数求导
  求$e^y+xy-e=0$确定的隐函数的导数$\frac{dy}{dx}$，两边同时求导得到
  $$\begin{gathered} e^y\cdot \frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0 \\ ⟹\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{d^y+x} \end{gathered}$$
  带参数的方程求导
  $$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}， \\ 则\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(x)}{{\phi }^{\prime }(x)} \end{gathered}$$
  反函数求导法则
  $$\begin{gathered} x=f^{-1}(y) \\ ⟹1=f^{-1}(y)\cdot \frac{dy}{dx} \end{gathered}$$
  微分定义
  设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+\Delta x$在这个区间内，如果函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$可表示为$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中$A$是不依赖于$\Delta x$的常数，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$是可微的，二$A\Delta x$叫做函数$y=f(x)$在点$x_0$响应于自变量$\Delta x$的微分，记作$dy$，即$dy=A\Delta x$
  泰勒(Taylor)中值定理
  如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一$x$，有
  $$\begin{array}{rl}f(x)& =f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)\\ & =\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+R_n(x)\end{array}$$
  其中$$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$$
  证明：
  $$\begin{array}{rl}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}& =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)-\sum _{i=1}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n}{(x-x_0{)}^n}\end{array}$$
  当$x\to x_0$时，上式的分子分母都趋向于0，可以使用$n$次洛必达法则，得到上式结果为
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{n!}=0$$
  故$R_n(x)$是$(x-x_0{)}^n$的更高阶无穷小。
  若$f(x)$在该邻域内有$n+1$阶导数，则
  $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)}(其中\xi 介于x和x_0之间)$$
  同样使用$n$次洛必达法则，然后使用拉格朗日中值定理，即可证明。
  如果使用泰勒展开式求解函数的近似值，则其收敛速度是阶乘速度的。例如求自然对数的底$e$
  $$\begin{gathered} 若f(x)=e^x，则e=e^1。取x_0=0,x=1，则有 \\ f(x)=\sum _{i=0}^n{f}^{(i)}(x-x_0{)}^i=1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{i!} \end{gathered}$$
  函数单调性
  设函数$y=f(x)在[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。
  1)若在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)\ge 0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调增加；
  2)若在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)\le 0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调减少；

不定积分

第一类换元积分法：灵感来自于复合函数的求导，利用中间变量替换得到复合函数的积分法：设$f(u)$具有原函数，$u=\phi (x)$可导，则有换元公式
$$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=[\int f(u)du{]}_{u=\phi (x)}$$
$$\int 2\cos 2xdx=\int \cos 2x(2x{)}^{\prime }dx(令u=2x)=\sin 2x+C$$
$$\int 2x{e}^{x^2}dx=\int e^{x^2}(x^2{)}^{\prime }dx=e^{x^2}+C$$
第二类换元积分法: 设$x=\psi (t)$是单调的可导函数，并且${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$. 又设$f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)$具有原函数，则有换元公式
$$\int f(x)dx={\left[\int f(\psi (t){\psi }^{\prime }(t)dt\right]}_{t={\psi }^{-1}(x)}$$
这种情况其实很难一眼直观看出来，三角函数相关的积分比较常见。
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sqrt{a^2-x^2}dx\\ & =a^2{\cos }^{2}t|dt(令x=a\sin t,-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2})\\ & =\frac{a^{2}t+\sin t\cos t}{2}+C\\ & =\frac{a^2\arcsin \frac{x}{a}+x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C(将t=\arcsin \frac{x}{a}带入)\end{array}$$
分部积分法：来源于两个函数乘积的导数计算公式。设函数$u=u(x),v=v(x)$具有连续导数，则$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，移项并求积分得到：
$$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$$
也即$$\int udv=uv-\int vdu$$
$$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C(其中u=x,v=\sin x)$$
通常来讲，希望取原函数的函数$u$的导数具有更简单的形式，从而$\int u^{\prime }vdx$具有更简单的形式。

定积分

众所周知，可以使用矩形(将圆弧使用平行于x轴横线来拟合)、梯形(将圆弧使用小块的连线来拟合)、辛普森法(将圆弧使用抛物线来拟合，估计在辛普森时代就已经知道了直线和抛物线围成图形面积的计算公式)求曲线和坐标轴围成的图形的面积，那么这么做是有误差的，难道误差就不管了吗？课本上并没有这个讨论，实际上，误差是更高阶无穷小，对误差进行一次积分的结果仍是无穷小，当$\Delta x\to 0$时，值为0.

我们来说明一下这个问题，对于$x_i,x_{i+1}和f(x)$围成的图形面积$S_i$，其中矩形的面积为$S_{mi}$，曲线和矩形围成的面积为$S_{ri}$，有$S_i=S_{mi}+S_{ri}$. 假设$f(x)在[x_i,x_{i+1})$上，斜率的最大值和最小值分别是$k_{max}和k_{min}$，$S_{ri}$面积小于矩形和最大斜率直线围成的三角形面积，即$S_{ri}<(x_{i+1}-x_i)(x_{i+1}-x_i)k_{max}/2=k_{max}\Delta x^2/2$
$$\begin{array}{rl}S& =\underset{\Delta x_i\to 0}{\lim }\sum _{\Delta x_i\to 0}^n{S}_i=\sum _{\Delta x_i\to 0}^n(S_{mi}+S_{ri})\\ & =\underset{\Delta x_i\to 0}{\lim }\sum _{\Delta x_i\to 0}^n(f(x_i)\Delta x_i+k_{max}\Delta x^2/2)\\ & ={\int }_a^{b}f(x_i)dx+{\int }_a^b{k}_{max}/2d^{2}x\\ & ={\int }_a^{b}f(x_i)dx\end{array}$$
使用不同的方法求面积，进行同样小间隔的划分，能取得不同精度的原因是：它们的误差$S_{ri}$是$\Delta x_i$的不同阶数的无穷小，矩形、梯形、抛物线都是$\Delta x_i$的一阶无穷小，矩形误差是二阶，梯形误差是三阶，辛普森误差是四阶。如果存在一种划分，误差是$S_{mi}$对于$\Delta x_i$的同阶无穷小，则使用这种划分得到的面积和真实值相差一个常数。
含有瑕点的瑕积分不能直接通过原函数的积分上下限相减得到，必须根据瑕点分段求积分。
Q:$\Delta x\to 0时，弦长和弧长的差为什么是更高阶无穷小？$

微分方程