1. 内积:设有n维向量
令 ,
则称[x,y]为向量x与y的内积。
2. 范数:称 为向量x的范数(或长度)。
3. 单位向量:称 时的向量x为单位向量。
4. 当 , 时,称
为向量x与y的夹角。
5. 正交向量组:指一组两两正交的单位向量。
6. 标准正交基:设n维向量 是向量空间V的一个基,如果 两两正交,且都是单位向量,则称 是V的一个标准正交基。
7. 正交矩阵:如果n阶方阵A满足
那末称A为正交矩阵。
8. 正交变换:若P为正交矩阵,则线性变换x=Py称为正交变换。
1 .内积的结果是一个数(或是一个多项式),且满足如下性质(其中x,y,z为n维向量, 为实数):
(i) ;
(ii) ;
(iii)
2 .向量的范数是一个数,且满足如下性质:
(i) 非负性 当x ≠ 0时, ;当x = 0时, 。
(ii) 齐次性 ;
(iii) 三角不等式 。
4. 正交向量组是线性无关的。
5. 施密特标准正交化
设 线性无关,
……………………………………………………
本节主要讲述一些预备知识,其重点是向量的内积,范数,标准正交基,正交矩阵及正交变换,会够造正交矩阵,易得正交变换,正交变换是在下面的学习中经常要用到的,难点是施密特标准正交化。
例1 .已知向量 ,求一组非零向量a1,a2,使a1与a2,a3正交,并把a1,a2,a3化成R3的一个标准正交基。
解:设所求的向量x,是[a3,x] = 0,即
,
它的基础解系为
令
显然 是两两正交的单位向量,故 是 的一个标准正交基。
解本题关键在与所求向量与已知向量正交,由它们的内积等于零,得出齐次线性方程组,其基础解系即为所求的向量,然后再把已知的3个向量施密特标准化。
1 .特征值与特征向量:
设A为n阶方阵,若数 和n维的非零列向量x,使关系式Ax=λx成立,则称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应与特征值 的特征向量。
2 .特征多项式
3 .特征方程
1 .求特征值与特征向量的方法:
(1) (实用于抽象矩阵);
(2) (实用于具体矩阵);
(3) (主要用于求特征向量)。
2 .主要公式
设 是A的特征值,x是A的对应于特征值 所对应的特征向量,则有
注: 特征值与特征向量指A可逆时。
3 .特征值与特征向量的性质
设 是A的n个特征值,则有
1)
2)
3) A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。
4) A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。
5) 方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。
本节的重点是理解特征值也特征向量的概念,求A的特征值与特征向量,掌握求特征值与特征向量的各种方法。难点是方阵A不同的特征值所对应的特征向量线性无关的证明;求方阵A特征值与特征向量的各种方法。
例1 .求方阵
的特征值和特征向量。
解: A的特征多项式为
所以A的特征值为 。
当 时,解方程 (A-2E)x=0。由
得基础解系
所以 是对应于 的全部特征向量。
当 ,解方程(A-E)x=0。由
得基础解系
所以 是对应于 的全部特征向量。
例2 .求矩阵
的特征值和特征向量。
解
所以A的特征值为 。
当 时,解方程(A+E)x=0。由
得基础解系
所以 是对应于 的全部特征向量。
当 时,解方程(A-2E)x=0。由
得基础解系
所以对应于 的全部特征向量为
。
以上例1、例2都有二重特征值,而例1中的二重特征值对应两个线性相关的特征向量,例2中二重特征值对应两个线性无的特征向量,这对于下面将要学习的方阵对角化是分重要的,希望引起同学们的注意。
例3 .设3阶方阵A满足 ,且矩阵A的秩为2,求A的特征值。
解:设 是A的特征值,x是A的关于 所对应的特征向量,则有 ,在 是两端右乘x,得
即
即
由于 ,所以
得
又A的秩为2,得A的特征值为
例3是一个抽象矩阵求特征值的问题,由所给的已知条件求出 ,再根据约束条件(例A的秩等于2)确定A的特征值。
第三节 相似矩阵
1 . 相似矩阵:
设A、B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使 ,
则称B是A的相似矩阵,记之A~B。
2 . 相似变换
对A进行 运算称为对A进行相似变换矩阵。
1 . 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
2 .若A相似于对角矩阵L,则L主对线上元素是A的n个特征值。
3 .n阶方阵A能与对角矩阵L相似的充分必要条件是:A有n个线性无关的特征向量。
4 .若n阶方阵A的n个特征值各不相同,则A与对角阵L相似。
5 .实对称矩阵的特征值为实数。
6 .实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的。
7 .设 是实对称矩阵A的k重特征值,则矩阵 的秩 ,从而对应k重特征值 恰有k个线性无关的特征向量。
8 .设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使 ,其中L是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。
本节的重点是一般方阵能对角化的条件,实对称阵用正交变换化成对角矩阵,将一个对称阵化成对角矩阵为把二次型化成标准形打基础。难点是上面理论的证明和推导,以及如何用正交变换矩阵将对称阵化成对角矩阵。此类题解法具有很强的规律性,但步骤较多,作起来比较复杂,同学们学习起来还是较困难的。
例1 .设矩阵
且A相似于B,求 的值。
解:由于A相似于B,则
即
再 ,
得 , 从而
此类问题的求解可用方程①A的迹等于特征值的和:②|A|等于特征值的积。若以上两个方程相同,可以由 ,将对角矩阵B的主对角线上元素(即A的特征值)代入即得。
例2 .设矩阵
问当k等于何值时,存在可逆矩阵P,使得 ?并求出P和相应的对角矩阵。
解:由
得 。
当 时
显然当k = 0时, ,对应的特征向量为
当 时,
对应的特征向量为
因此当k=0时,零
则
。
解此类问题关键分析A应有二重特征值,并且二重特征值需对应两个线性无关的特征向量,从而 。确定k,这是十分关键的一步。
例3 .设矩阵
求正交矩阵P和L,使 。
解:由
得A的特征值为 。
当 时,代入方程组 ,即
解得 时一个特征向量为
当 时,代入方程组 ,即
解得 时对应的特征向量为
显然 与 正交,但 是线性无关的,可以用施密特标准正交把 化成两两正交的单位向量,这样较麻烦,若 得 ,显然它们正交,并且是上面线性方程组的解,故只须单位化
令 ,则P为正交矩阵,且
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