线性代数复习 第六章 二次型

第六章 二次型

6.1 基本概念和性质

二次型的定义

含有 n 个未知量 x1,x2,...,xn 的二次多项式

f(x1,x2,...,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj, (aij=aji)

称为实数域上的一个 n 元二次型，简称二次型。

上面的二次型可以写成矩阵的形式，

f(x1,x2,...,xn)=xTAx

其中，

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥,x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥

二次型的秩可以用矩阵 A 的秩来描述。由于要求矩阵必须是对称矩阵，所有如果由二次型直接得到的矩阵不对称，可以通过 12(A+AT) 来得到。

合同变换和合同矩阵

设 x1,x2,...,xn 和 y1,y2,...,yn 是两组未知量，有关系式

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1x2⋮xn=c11y1+c12y2+⋯+c1nyn=c21y2+c22y2+⋯+c2nyn=cn1y1+cn2y2+⋯+cnnyn

称为由 y1,y2,...,yn 到 x1,x2,...,xn 的一个线性变换。

记

C=⎡⎣⎢⎢⎢⎢c11c21⋮cn1c12c22⋮cn2⋯⋯⋯c1nc2n⋮cnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥, x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥, y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y1y2⋮yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

那么上面的线性变换可以写成是矩阵的乘积形式，

x=Cy

若 |C|≠0 时，称线性变换是可逆线性变换。

设 A,B 是两个 n×n 的矩阵，如果存在可逆矩阵 C ，使得 B=CTAC ，则称矩阵 A 与 B 是合同的，或 A 合同于 B ，记作 A≅B ，并称由 A 到 B 的变换为合同变换（contragradient transformation），称 C 为合同变换的矩阵。

合同变换具有自反性、对称性和传递性。

如果对二次型 f(x1,x2,...,xn)=xTAx （其中 A=AT ）做一次可逆线性变换 x=Cy ，则

f(x1,x2,...,xn)=xTAx=(CyTACy)=yT[CTAC]y

其中 B=CTAC 和 A 是合同的，即一个二次型经过可逆的线性变换，其二次型对应的矩阵是合同的。

二次型的标准型与规范型

任何一个二次型 f(x1,x2,...,xn)=xTAx （其中 A=AT ）都可以经过一次可逆线性变换 x=Cy 化成只含平方项的二次型

f(x1,x2,...,xn)=d1x21+d2x22+⋯+dnx2n

其中的 di 为常数，这个二次型称为 f(x1,x2,...,xn) 的 标准型。

为什么一定可以转化呢？考虑上一章的内容，对于实对称矩阵 A ，总存在正交矩阵 P 使得 PTAP=Λ ，也就是说这种正交变换 x=Cy 总是存在的。上面的 di 其实就是矩阵 A 的特征值，也是对角矩阵 Λ 的对角元素。

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继续做一个变换，那么就可以把系数化成只是 0,1,−1 的形式，

y21+⋯+y2p−y2p+1−⋯−y2r(p≤r≤n)

上式就叫做是二次型的 规范型，且是唯一的。其中 p 是二次型的正惯性指数，r 是二次型的秩， r−p 是二次型的 负惯性指数，这三个数是二次型在可逆线性变换下的不变量。

矩阵的等价、相似和合同的结论

矩阵关系	表达式	秩	性质
矩阵 A,B 等价	PAQ=B	r(A)=r(B)	A,B 为同型矩阵
矩阵 A,B 相似	P−1AP=B	r(A)=r(B)	A,B 特征值相同
矩阵 A,B 合同	PTAP=B	r(A)=r(B)	A,B 正负惯性指数相同

• 矩阵相似和合同，能推出来矩阵等价；反之却不成立。
• 两个实对称矩阵 A,B 相似 ⇒A,B 合同
• 实对称矩阵与其特征值为元素的对角矩阵，既合同又相似。

6.2 正定二次型

对于实二次型 f(x1,x2,...,xn)=xTAx,(AT=A) ，如果对于任意的 x=(x1,x2,...,xn)T≠0 ，有

f(x1,x2,...,xn)=xTAx>0

那么称该二次型为 正定二次型，矩阵 A 就叫做 正定矩阵。

正定矩阵有下面的结论：

• 可逆线性变换不改变二次型的正定性 ⇔ 合同变换不改变实对称矩阵的正定性。
• 二次型 f(x1,x2,...,xn)=xTAx 正定的充分必要条件是
  
  • 矩阵 A 合同于同阶单位矩阵
  • 二次型的标准型的系数均大于零，即 A 的所有特征值均大于零；
  • 二次型的正惯性指数等于 n .
  • A 的所有顺序主子式均大于零。
• 正定矩阵的行列式大于零。

如何判断正定矩阵和正定二次型？
1. 若 A 是数值型，根据所有的顺序主子式是否全大于零或者特征值是否全大于零来判断
2. 若 A 是抽象型，则可用特征值是否全大于零，或用定义：任意 x≠0,xTAx>0