【High 翻天】Higer-order Networks with Battiston Federico （4）

模型的目的是再现、解释和预测系统的结构，最好用涉及系统两个或多个元素的交互来描述。为了考虑其输出的可变性，这些模型通常被指定为随机规则的集合，即随机过程。

模型（2）

基于上部分介绍的均衡模型，本部分简单概述一下非均衡模型。

Out-of-equilibrium models

基于物理学和网络科学的实际需求，我们从动力学的观点来描述系统。回顾上文，激励模型的建模目标总是相同的：找到最小规则集，使模型产生的系统可再现经验观察到的网络的结构特征。规则的选择通常是为了允许对感兴趣的属性进行分析计算。

Bipartite models

一个典型例子是 G. Ergün 模型，其目标是再现异性恋规范社会中性接触网络的演化¹。该模型假设网络的演化可以用三种类型的事件来解释，对应的发生概率 $p$、$q$ 和 $r$ 之和为 $1$。在每个时间步骤中，集合A（概率 $p$）或集合B（概率 $q$）中有一个新节点到达；或者两部分之间出现一条新边（概率 $r$）。为了避免 $0$-节点，所有新的进入节点最初都连接到相反集合中的一个节点上，该节点是随机选择的。因此，时刻 $t$ 时节点 $i\in A$ 的概率为：$$p_i(t)=\frac{k_i(t)+c_A}{{\sum }_{j\in A}(k_i(t)+c_A)},$$ 其中，$k_i(t)$ 是时刻 $t$ 时节点 $i$ 的度，$c_A$ 是偏移量参数。在此基础上，有很多类似的增长型模型。

Stochastic set models

另一类非均衡模型关注的是节点对集合的隶属关系如何随时间演变，这方面的研究相对较少。该模型与中餐馆过程²和相关的印度自助过程³密切相关，在统计和机器学习文献中，它们都是为了在集合成员关系上创建分布而开发的。

笔者第一次见这两个过程，之后会详细了解的。

Hypergraphs models

超图中的非均衡模型主要来源于物理领域。最早的超图非均衡模型之一是 $k$-分超图⁴，用作用户标记项目的大众分类法模型。在上述模中，用户具有内在活动，对应于他们将成为下一个标记某一商品的用户的可能性。在每个时间步骤中，按照此活动的比例选择一个随机用户，然后决定应用标记的类型和标记的项目。该过程中允许赢者通吃和创造原则。

Simplicial complexes models

有几种方法可以建立单纯复合体的动力学模型。

• 第一个使用简单复合体来模拟双曲网络几何结构的工作来自物理文献，其中以“Complex
  Quantum Network Manifolds”⁵的名义进行研究。建模的目标是指定各种离散空间可能出现的模型。
  

• 另一种模型⁶侧重于有向三角形单纯复合体。通过首先选择一个源节点来创建或加强简化，该节点与它的外部强度(作为源的三角形的总权重)成比例，并且有一定概率该节点是新的。为了确定该事件是否会导致新的单纯形的创建或强化，然后在单纯形复合体中随机选择一条边，并强化该边与源形成的三角形的权重(如果它存在)，或者当它不存在时创建三角形。在这种情况下，建模的目标是获得具有无标度分布的密集单纯复合体。

• 最后，还有一些模型考虑了动态的单纯复合体是基于事件的，关注连续流程的时间片中发生的事件⁷。

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1. G. Ergün, Human sexual contact network as a bipartite graph, Physica A 308 (1–4) (2002) 483–488. ↩︎

2. D.J. Aldous, Exchangeability and related topics, in: École d’Été de Probabilités de Saint-Flour XIII—1983, Springer, 1985, pp. 1–198. ↩︎

3. T.L. Griffiths, Z. Ghahramani, The Indian buffet process: An introduction and review, J Mach Learn Res 12 (Apr) (2011) 1185–1224. ↩︎

4. G. Ghoshal, V. Zlatić, G. Caldarelli, M. Newman, Random hypergraphs and their applications, Phys. Rev. E 79 (6) (2009) 066118. ↩︎

5. Z. Wu, G. Menichetti, C. Rahmede, G. Bianconi, Emergent complex network geometry, Sci. Rep. 5 (2015) 10073. ↩︎

6. O.T. Courtney, G. Bianconi, Dense power-law networks and simplicial complexes, Phys. Rev. E 97 (5) (2018) 052303. ↩︎

7. B. Kim, A. Schein, B.A. Desmarais, H. Wallach, The hyperedge event model, 2018, arXiv:1807.08225. ↩︎