【中级计量经济学】Lecture 10 内生性和工具变量法

Lecture 10 内生性和工具变量法

10.1 内生性问题

随机误差项与一个或多个解释变量有关，$Cov(x_k,u)\ne 0$

注意和自相关（序列相关）问题的区分

内生性的产生原因

1. 遗漏变量问题：模型设定时遗漏了重要的解释变量且这个解释变量与模型中的解释变量有同期相关性；
2. 被解释变量与解释变量存在联立（双向）因果关系；
3. 解释变量存在测量误差。

内生性的后果

1. 估计量有偏$E(\hat{\beta })\ne \beta$
2. 估计量不一致

10.2 内生性问题的处理

寻找代理变量（IQ）

• 如果遗漏的变量不随时间变化，则直接使用固定效应模型。

• 否则，用代理变量替代不可观测重要变量（直接加一个变量进去）

  条件：

  1. 代理变量与不可观测变量有一定的关系
  2. 加入代理变量后模型的随机误差项与解释变量不相关
  3. $e$与其他解释变量和代理变量不相关 （e是代理变量和不可观测变量的回归残差项）

工具变量法（IV）估计

工具变量的选取

• 选取变量$Z$作为内生解释变量$X_j$的工具变量，$Z$是外生的：
  $$\begin{gathered} Cov(X_j,u)\ne 0 \\ Cov(Z,u)=0 \end{gathered}$$

• 工具变量与内生解释变量需高度相关（同时不能与模型中其他变量有过高的相关性）：
  $$Cov(Z,X_j)\ne 0$$

工具变量矩估计（GMM）

矩估计时的总体矩条件与对应的样本矩条件（矩条件将在工具变量法中发挥作用）：
$$\begin{gathered} \mathrm{E}({\mu }_i)=0\Rightarrow \frac{1}{n}\sum (Y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{X}_i)=0; \\ \mathrm{E}(X_i{\mu }_i)=0\Rightarrow \frac{1}{n}\sum (Y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{X}_i)X_i=0. \end{gathered}$$

考虑总体矩条件，此时$\mathrm{E}(X_{j}u)\ne 0$，（若总体矩不为0，则$X_j$为内生解释变量）故通过引入的外生变量$Z$直接代替$X_j$，有另一个矩条件$\mathrm{E}(Zu)$，从而得到相应的样本矩条件，推导可以得到：
$$\begin{gathered} {\tilde{\beta }}_1=\frac{\sum z_i{y}_i}{\sum z_i{x}_i} \\ {\tilde{\beta }}_0=\bar{Y}-{\tilde{\beta }}_1\bar{X}. \end{gathered}$$
对多元矩阵模式，用工具变量矩阵$Z\text{Z}Z$替换掉$X_j$所在的列得到的新数据矩阵记作$Z$，则$\tilde{\beta }=(Z^{\prime }X{)}^{-1}{Z}^{\prime }Y$。

工具变量法小样本下仍然有偏，大样本下是一致估计量。

局限性在于，一个内生变量只能有一个工具变量。

IV估计的方差总是大于OLS的方差，$X_j$与$Z$的相关性越大，IV方差越接近于OLS方差。

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两阶段最小二乘法（2SLS）

单个内生解释变量，多个IV

第一阶段：内生解释变量关于其所有工具变量以及原模型中的外生解释变量做OLS回归，记录$X_i$的拟合值$\widehat{X_i}$：
$${\hat{X}}_i={\hat{\alpha }}_0+{\hat{\alpha }}_1{Z}_i,$$
第二阶段：用${\hat{X}}_i$代入$X_i$放回原模型回归：
$$\begin{gathered} Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{\hat{X}}_i+{\mu }_i, \\ {\tilde{\beta }}_1=\frac{\sum y_i{z}_i}{\sum x_i{z}_i}. \end{gathered}$$
注意，在第一阶段中，如果模型中含有其他的外生变量，要将其他外生变量加入回归，这适用于多元回归的情形。

多重共线性与2SLS

多重共线性下，2SLS的方差大于OLS的方差：

多个内生解释变量

10.3 内生性的检验

豪斯曼（Hausman）检验（DHW检验）

思路：解释变量的内生性检验，内生性的存在与否决定了2SLS是否有必要。

$X$的外生性未知，但明确知道$Z_1$外生，即
$$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{\beta }_2{Z}_{i1}+{\mu }_i,$$
如果$X$是内生变量，则需寻找一外生变量$Z_2$作为工具变量，并对原模型进行工具变量法估计，看两者差异是否显著，如果显著差异，就说明$X$内生。

第一步：类似2SLS，作辅助回归
$$X_i={\alpha }_0+{\alpha }_1{Z}_{i1}（外生变量）+{\alpha }_2{Z}_{i2}（工具变量）+{\nu }_i,$$
得到残差项${\hat{\nu }}_i$.

第二步：把残差项加入原模型，即
$$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{\beta }_2{Z}_{i1}+\delta {\hat{\nu }}_i+{\epsilon }_i.$$
如果认为$X$外生，那么第一步辅助回归应当没有什么帮助，所以原假设是$H_0:\delta =0$，用$t$统计量检验原假设。

如果拒绝该假设，就认为$X$是内生变量。

说明：

• 判断$X_i$是否与${\mu }_i$同期相关等价于判断$\widehat{v_i}$是否与${\mu }_i$同期相关；
• 如果被怀疑的内生解释变量有多个工具变量，则第一步需要与所有工具变量及外生变量进行OLS回归。