计量经济学第四章

放宽基本假设的模型

• 严重的多重共线性
• 随机干扰项序列异方差性
• 解释变量具有内生性
• 模型设定有偏误

多重共线性

后果

• 完全共线性下参数估计量不存在
• 近似共线性下参数估计量方差变大
  （方差膨胀因子：$Var(\widehat{{\beta }_1}=\frac{{\sigma }^2}{\sum x_{i1}^2}\frac{1}{1-r^2})$）
• 参数估计量经济意义不合理
• 变量的显著性检验和预测失去意义

检验

判定有无多重共线性

• 两个解释变量的模型，简单相关系数法
• 多个解释变量的模型，综合统计检验法。若$R^{2}andF$较大，而各个变量的$t$比较小，则说明各解释变量对Y的联合线性作用显著，但他们的共线性使得对Y 的独立作用不能区分。

判断共线性范围

• 判定系数检验法(对某一个解释变量用其他变量做回归，若拟合优度大则出现了多重共线性)
• 逐步回归法（逐步加变量，观察拟合优度变化幅度）

克服方法

• 排除引起共线性的变量
• 减少参数估计量的方差（岭回归）

异方差性

$Var({\mu }_i|X_i)={\sigma }_i^2$，即对于不同样本点，随机干扰项的方差不再是常数了。

后果

• 参数估计量非有效（仍然有线性性，无偏性）
• 变量的显著性检验失去意义（未能正确估计参数方差）
• 预测失效

检验

$e_i=Y_i-\widehat{Y_i}$，用这个作为随机干扰项的估计。

值得注意的是，在同方差假设下我们有: $E({\sum }_i{e}_i^2)=(n-p){\sigma }^2$，所以用$e_i$估计随机干扰项是有一定道理的。

• 图示检验法
• 布罗施-帕甘（B-P）检验（假定${\mu }_i$关于$X$是线性函数，然后进行检验）
• 怀特（White）检验（关于$f(X)=var({\mu }_i|X)$的假设引入了交叉项和平方项）

修正

• 加权最小二乘法
• 可行的广义最小二乘法
• 异方差稳健标准误法($var(\widehat{{\beta }_1})=\frac{\sum x_i^2{\sigma }_i^2}{(\sum x_i^2{)}^2}$，用$e_i$代替${\sigma }_i$进行方差计算。)

内生解释变量问题

1. 内生解释变量与干扰项同期无关但异期相关
   即 $Cov(X_{i2},{\mu }_i)=E(X_{i2}{\mu }_i)!=0$
   $Cov(X_{i2},{\mu }_{i-s})!=0$
2. 内生解释变量与随机干扰项同期相关。

后果

同期内生解释变量->参数估计量有偏且不一致。

工具变量法

定义：在模型的估计过程中当作工具被使用，可以得到大样本下的一致估计量。

工具变量的选取：

• 与所替代的随机解释变量高度相关，$Cov(z,x_i)!=0$
• 与随机干扰项互不相关：$Cov(z,\mu )=0$
• 与模型其他解释变量不高度相关，以避免出现严重的多重共线性。

工具变量的应用

工具变量法是克服解释变量与随机干扰项同期相关影响的一种参数估计方法，它是矩估计一种形式。
举个一元线性回归的例子，原始正规方程组为：

• $\sum e_i=0$
• $\sum x_i{e}_i=0$

为避免$x_i$和$e_i$的同期相关性，可使用$z$代替$x_i$，得到变换后的正规方程组：

• $\sum e_i=0$
• $\sum z_i{e}_i=0$

工具变量法实际上可以等价为两阶段的最小二乘法：

1. 对X进行关于工具变量Z的最小二乘回归
2. 以第一步得到关于X的估计量，代入Y的方程进行最小二乘回归。

模型设定偏误问题

类型

• 相关变量的遗漏
• 无关变量的误选
• 错误的函数形式

后果

1.遗漏相关变量
（1）漏掉的变量和已有变量相关，则截距和相关变量的系数都是有偏且非一致的。
（2）漏掉的变量和已有的变量无关，则截距有偏非一致。
（3）随机干扰项方差估计${\sigma }^2$有偏
（4）留下来的变量方差估计是有偏的。
2. 包含无关变量
估计量仍然是无偏且一致的，${\sigma }^2$也能被正确估计，但是参数估计量的方差往往会比正确设定的要大。
3. 错误函数形式的偏误
这种偏误是全方位的。

检验

不考