【中级计量经济学】Lecture 9 面板数据模型

Lecture 9 面板数据模型

9.1 经济数据结构的分类

截面数据（Cross-sectional data）

时间序列数据（Time-series data）

混合截面数据（Pooled cross sections）

• 不同时期的组间样本个体不同

面板数据（Panel data）

• 不同时期的组间样本个体相同（对相同样本个体跟踪调查）
• 面板数据优点：
  1. 可以解决样本容量不足的问题，改进模型估计的有效性；
  2. 有助于更好地分析经济变量之间的关系；
  3. 可以估计某些难以度量的因素对解释变量的影响。

9.2 三大面板数据模型

One-way（单向效应）：只考虑个体效应（individual effect），不考虑时间效应（time effect）。
$$\begin{gathered} y_{it}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1it}+{\beta }_2{x}_{2it}+\cdots +{\beta }_k{x}_{kit}+{ϵ}_{it} \\ {ϵ}_{it}={\lambda }_i+u_{it} \end{gathered}$$
${\lambda }_i$是不可观测的个体效应。

固定效应模型和随机效应模型都是非观测效应模型（unobserved effects model）。

固定效应模型（The Fixed Effect Model）

假设

• ${\lambda }_i$对个体$i$来说是常数，不随时间变化，但随不同的个体变化
• ${\lambda }_i$与某个解释变量有关，即允许$Cov({\lambda }_i,x_{kit})\ne 0$

结果：每一个横截面的不同个体具有固定的不同的截距项（因为$\lambda$与解释变量相关，每个个体的解释变量观察值不同，所以不同个体的$\lambda$不同）

固定效应模型估计方法

一阶差分法估计（FD）

固定效应组内变换法（FE）

$$y_{it}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1it}+{\beta }_2{x}_{2it}+\cdots +{\beta }_k{x}_{kit}+{\lambda }_i+u_{it}$$

给定一个个体$i$，将上式两边对时间取平均：
$${\overline{y}}_{it}={\beta }_0+{\beta }_1{\overline{x}}_{1i}+{\beta }_2{\overline{x}}_{2i}+\cdots +{\beta }_k{\overline{x}}_{ki}+{\lambda }_i+{\overline{u}}_i$$
两式相减：
$$\begin{gathered} y_{it}-{\overline{y}}_{it}={\beta }_1(x_{1it}-{\overline{x}}_{1i})+{\beta }_2(x_{2it}-{\overline{x}}_{2i})+\cdots +{\beta }_k(x_{kit}-{\overline{x}}_{ki})+(u_{it}-{\overline{u}}_i) \\ {\tilde{y}}_{it}={\beta }_1{\tilde{x}}_{1it}+{\beta }_2{\tilde{x}}_{2it}+\cdots +{\beta }_k{\tilde{x}}_{kit}+{\tilde{u}}_{it} \end{gathered}$$
用OLS估计$\beta$，称为固定效应估计量（Fixed Effects Estimator），记为${\hat{\beta }}_{FE}$。

${\hat{\beta }}_{FE}$主要使用了每个个体的组内离差信息，故也称为组内估计量（within estimator）

• 优势：即使个体效应与解释变量相关，也可得一致估计。

• 劣势：无法估计不随时间而变的变量之影响（如教育、性别、少数民族），即time invariant的变量没有得到估计

  因为time invariant的变量，取时间平均前后的值相同，在第二步相减的过程中消去，所以这个变量没有得到估计。

最小二乘虚拟变量法（LSDV）

将不可观测的个体效应${\lambda }_i$看做待估计的参数，${\beta }_0+{\lambda }_i$就是个体$i$的截距。估计$n$个截距的方法就是引入$n-1$个虚拟变量（如果省略常数项${\beta }_0$，则引入n个虚拟变量）。
$$y_{it}={\lambda }_1{D}_1+\cdots +{\lambda }_{n-1}{D}_{n-1}+{\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1it}+\cdots +{\beta }_{kit}{x}_{kit}+u_{it}$$
对于个体$i$，$D_i=1$，否则取0。

再进行OLS估计

• 优势：可以估计每个个体的异质性；可以估计不随时间变化变量的影响，可以得到组间估计量（between estimator）
• 劣势：对LSDV直接估计，由于LSDV中估计的变量太多，导致自由度下降很多（对拟合优度也可能产生影响），系数估计值会有细微差别。
• 对LSDV估计后发现某些个体的虚拟变量不显著而将其删去，那么LSDV的结果也不会与FE相同。

三种方法比较

随机效应模型（The Random Effect Model）

假设

• ${\lambda }_i$对个体$i$来说是随机变量，不随时间变化。
• ${\lambda }_i$与所有解释变量都不相关，即对所有$k$，$Cov({\lambda }_i,x_{kit})=0$

结果：每个截面的每个个体的截距项都是一个随机变量

随机效应模型估计方法

广义最小二乘估计法（GLS）

（复杂，不太会考，略）

混合回归模型（Pooled Regression Model）

假设

• 对所有个体来说，${\lambda }_i=0$，即不存在个体效应

结果：设所有的横截面个体在不同时期的截距和斜率都是相同的

9.3 模型的选择

固定效应模型(FE)or混合回归模型(PLS)——F检验（个体效应的显著性检验）

$H_0:{\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0$，即${\lambda }_i=0(i=1,2\dots ,n-1)$，所有的个体效应都为0，即不存在个体效应。

有一个独立的常数项${\beta }_0$，所以对于有$n$个个体，引入$n-1$个虚拟变量。

未受约束模型（Unrestricted Model）：固定效应模型（引入虚拟变量$D_i$）
$$y_{it}={\lambda }_1{D}_1+\cdots +{\lambda }_{n-1}{D}_{n-1}+{\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1it}+\cdots +{\beta }_{kit}{x}_{kit}+u_{it}$$
受约束的模型（Restricted Model）：混合回归模型
$$y_{it}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1it}+\cdots +{\beta }_{kit}{x}_{kit}+u_{it}$$
$F$统计量大于临界值，拒绝原假设，则通过F检验，个体效应显著，应该选用固定效应模型；否则个体效应不显著，选用混合回归模型。

随机效应模型(RE)or固定效应模型(FE)——Hausman检验（个体效应是否与解释变量相关的检验）

$H_0:Cov({\lambda }_i,x_{kit})=0$，模型误差项与解释变量之间正交，即个体效应（异质性）与解释变量不相关

$H_1:Cov({\lambda }_i,x_{kit})\ne 0$，即个体效应（异质性）与解释变量相关

拒绝原假设，选择固定效应模型；接受原假设，选择随机效应模型。（可以根据固定效应和随机效应模型的假设定义来记忆）

• 如果$Cov({\lambda }_i,x_{kit})=0$，FE 和 RE 都是一致的，但RE更有效；则FE与RE估计量将共同收敛于真实的参数值，但选择效率更高的RE;

• 如果$Cov({\lambda }_i,x_{kit})\ne 0$，FE仍然一致，但RE是有偏的；两者的差距过大，选择FE。

该检验的缺点：不适用于异方差情形，若随机误差项存在异方差，RE不是最有效的。

混合回归模型(PLS)or随机效应模型(RE)——LM个体效应检验

$H_0:{\sigma }_u^2=0$

$H_1:{\sigma }_u^2\ne 0$

Two-way（双向效应）：同时考虑个体效应和时间效应

双重差分（DID）模型

通过该模型可以比较某一政策对不同组别的样本的影响。双重差分用于检验某一外生事件产生的影响，如：金融危机、政策变化等。

模型形式一（不含固定效应）

$$Y_{it}={\beta }_0+{\beta }_{1}Trea{t}_i+{\beta }_{2}Afte{r}_t+{\beta }_{3}Trea{t}_i\times Afte{r}_t+e_{it}$$

$Trea{t}_i$：处理组（受到事件影响的样本）=1，控制组（不受事件影响的样本）=0；

$Afte{r}_t$：事件发生后=1，事件发生前=0.

	事件发生前After=0	事件发生后After=1	Difference
处理组Treat=1	${\beta }_0+{\beta }_1$	${\beta }_0+{\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3$	$\Rightarrow \Delta Y_{Treat}={\beta }_2+{\beta }_3$
控制组Treat=0	${\beta }_0$	${\beta }_0+{\beta }_2$	$\Rightarrow \Delta Y_{Control}={\beta }_2$
Difference			Dif-In-Dif $$\begin{gathered} \Downarrow \\ \Delta \Delta Y={\beta }_3 \end{gathered}$$

要检验的是${\beta }_3$是否显著。

模型形式二（含固定效应）

$$Y_{it}={\beta }_0+{\beta }_{3}Trea{t}_i\times Afte{r}_t+{\lambda }_i+{\mu }_t+u_{it}$$