可持久化平衡树 详解
前置知识：fhq-treap(无旋treap)
定义
可以拆成 可持久化 和 平衡树 来看，所以就是可以维护历史版本的平衡树，在此，我们的无旋treap与splay相比可以很好的进行转化（主要还是因为splay的旋转操作进行历史版本回溯比较困难），其实如果会打主席树（可持久化线段树），那么可持久化平衡树还是相当简单的，与普通的平衡树相比，就多了历史版本根的记录，以及树节点的复制而已（>_<） 。
有人要问：开那么多节点，空间不会爆炸吗。
我们平衡树的深度是理论 l o g n log n logn 的，所以每次操作最多添加 l o g log log 个节点，所以空间复杂度是 n log n n \log n nlogn 的，但是还是建议开 50 50 50 倍的空间，不然会炸（主要是无旋treap的随机运气不好会炸）
如果你不会无旋 treap：无旋treap学习笔记
操作
和普通的平衡树没什么两样：
Merge
void merge(int &rt,int x,int y){
if(!x||!y){
rt=x+y;
return;
}
if(tree[x].id>tree[y].id){
pushdown(x);//注意：先下传标记，再复制节点！！！
tot++,rt=tot;
tree[rt]=tree[x];
tree[rt].id=rd();//此处建议是再取一次随机数
merge(rs(rt),rs(x),y);
pushup(rt),pushup(x);
}
else{
pushdown(y);
tot++,rt=tot;
tree[rt]=tree[y];
tree[rt].id=rd();
merge(ls(rt),x,ls(y));
pushup(rt),pushup(y);
}
}
我们的 i d id id 为随机赋值，以保证时间及空间复杂度的正确（但是有的时候还是建议随机合成，下面有例题会解释）
注意：我们每次复制节点的时候，一定要先下传标记，不然对于一个子节点来说，此时共有两个父亲携带下传标记（ r o o t root root 和 n e w r o o t newroot newroot 都有），就会造成错误。
Split
void split(int rt,int &x,int &y,int siz){
if(rt==0){
x=y=0;
return;
}
pushdown(rt);
if(tree[ls(rt)].siz<siz){
tot++,x=tot;
tree[x]=tree[rt];
split(rs(rt),rs(x),y,siz-tree[ls(rt)].siz-1);
pushup(rt),pushup(x);
}
else{
tot++,y=tot;
tree[y]=tree[rt];
split(ls(rt),x,ls(y),siz);
pushup(rt),pushup(y);
}
}
在此处是按照大小进行分裂，也可以按照权值分裂。
也是要记得 先下传标记
另外，还有非常重要的：下传标记要复制新点，而上传不需要
可以发现，可持久化和普通其实没有什么实质的区别，还是很好学的=)
例题
Luogu P3835 【模板】可持久化平衡树
非常经典的例题，普通的平衡树加上历史版本的修改和查询，若普通平衡树通过了，就可以加上历史版本维护随便切了。
代码
#includeLuogu P5055 【模板】可持久化文艺平衡树
同样的，可以参考文艺平衡树的模板题，但是注意一点：下传标记一定要复制新点，我们当前的儿子还是上一个历史版本的儿子，所以此时要将其复制一份，不然就会让上一个历史版本打上此时版本的标记，这是我们所不希望看到的，下传还是 log \log log 的，所以不用担心空间的问题，但建议有多大开多大。
代码
#include不带劲？来点难的。
JZOJ 【NOI2014模拟】文本编辑器(editor)
除了第三个操作以外，我们其他的操作都可以用无旋 treap 来实现，但是看到第三个操作，我们总不能一个一个加上去吧。。。（时间空间双爆炸力，悲），所以我们考虑将此区间暂时存放在第 x x x 个字符后面，这样就不用每个字符都插入一遍了，只用插入 log \log log 个，所以时间复杂度和空间复杂度都是 O ( m log max ( L e n ) ) O(m \log \max(Len)) O(mlogmax(Len)) ，但是如果给 t r e a p treap treap 随机标号，我们会发现：
为什么？
别忘记我们无旋treap现在的长度可是 L e n Len Len 的，所以如果我们没弄好左右子树存放条件，我们可承担不起多出来的深度（毕竟是 L e n Len Len 的，悲 ）
经过研究前人的代码，我发现有两种判断方法：
1. 1. 1. s i z e [ x ] > s i z e [ y ] size[x]>size[y] size[x]>size[y]
2. 2. 2. r a n d ( ) m o d ( s i z e [ x ] + s i z e [ y ] ) < s i z e [ x ] rand()\mod (size[x]+size[y])
都只和 treap 的 s i z e size size 相关，和随机数毛关系都没有，为什么？（我也不会）
感性理解一波：我们的”随机数“在此处循环节太短，所以会出现树的深度不符期望的情况。而这种真正做到了随机合并（逃
第一种方法：
第二种方法：
（这就是玄学的力量吗）
代码
#include此处是时间复杂度更优的代码。（所以为什么啊）
完结撒花 Q W Q !!!