高等数学期末复习——知识点梳理

向量代数与空间解析几何

向量混合积：(a × b)· c

定义$Pr{j}_{x}a$为a到x的投影

可用于计算六面体体积。

另：

三维向量叉乘：

$(a_x,a_y,a_z)\times (b_x,b_y,b_z)=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$

平面方程：

1. 点法式.$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0$$，其中$(A,B,C)$为平面的法向量。

2. 截距式: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$，其中$a,b,c$分别是$x,y,z$轴的截距。

3. 平面一般方程$Ax+By+Cz+D=0$.

4. 三点式：不常用.

直线方程：

1. 点向式. 设直线的方向向量为$(m,n,q)$，其上有一点$(x_0,y_0,z_0)$，则可得直线方程
   $$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{q}$$

2. 两点式

$$\frac{x-x_1}{x_2-x1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$

3. 参数式. 设方向向量为$(m,n,q)$，有一点为$(x_0,y_0,z_0)$

$$\{\begin{array}{c}x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+qt\end{array}$$

4. 一般式，两平面方程联立即可

多元函数微分学

多元函数连续的充分条件

（1）$f(p)$在$p$有定义

（2）$f(p)$在$p$有极限

（3）极限值等于函数值

偏导数与连续的关系

简单来说，偏x和偏y只是两个方向，表示在这对正交方向上可导，但只有在二维平面上每个方向都有导数，才能说这个函数是连续的。

隐函数的导数

单方程情形：$F(x,y)=0$，则
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$$
方程组情形：对于方程组$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0,\\ G(x,y,u,v)=0.\end{array}$$

若$u=u(x,y),v=v(x,y)$，
$$\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_u^{\prime }& F_v^{\prime }\\ G_u^{\prime }& G_v^{\prime }\end{array}\right|$$

方向导数

偏$x$和$y$的导数实际上是两个方向的方向导数。一般化后，得到公式：
$$\frac{\partial f(P_0)}{\partial l}=(\frac{\partial f(P_0)}{\partial x},\frac{\partial f(P_0)}{\partial y})\cdot {\mathbf{e}}_{\mathbf{l}}$$

其中${\mathbf{e}}_l$是沿$l$方向的单位向量。

梯度

例如，当$f(x,y)$是某二元函数时，梯度
$$\text{grad}f(p)=(f_x^{\prime }(p),f_y^{\prime }(p))$$

多元函数微分学的应用

空间曲线的切线与法平面方程

若直线$l$上的点满足$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，$t\in I$，对于直线上一点$P(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$，有过$P$的切线为$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$.

法平面方程为$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$.

空间曲线的切平面和法线方程

直接求梯度即可，各系数为切平面系数/法线方程系数。

有约束极值

拉格朗日函数

若约束为$\phi (x,y,z)=0$，可设$(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)$，最后解方程组，四维导数分别等于0.

多元函数积分学

四个等价命题与格林公式

1. ${\oint }_{l}Pdx+Qdy=0$
2. ${\int }_{l}Pdx+Qdy$与积分路径无关
3. 是某个函数的全微分. 即存在$u,du=Pdx+Qdy$
4. $$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$在$D$内处处成立

格林公式：
$$\oint Pdx+Qdy=(\iint \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$
原函数与全微分方程

若$D$单连通，$P(x,y),Q(x,y)\in C(D)$，且有$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，则存在函数$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy$，使得$du=Pdx+Qdy$.

高斯公式：
$$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$
斯托克斯公式：
$${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz=\iint (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$
（可以直接计算，改变积分次序，一般用不上这个公式）

散度：
若向量场$F=(P,Q,R)$，则称
$$\frac{\partial P(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}+\frac{\partial R(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}$$
为$F$在$M(x_0,y_0,z_0)$的散度，简记为$divF(x,y,z){|}_M$

则高斯公式的场形式：

$\iint \mathbf{F}\cdot dS=\iiint div\mathbf{F}dv$.

环流量与旋度

$$\text{rot}\mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$.

Stokes formula 场形式：

$\oint \mathbf{F}\cdot ds=\iint \text{rot}\mathbf{F}\cdot dS$

无穷级数

几个性质

1. 若级数收敛，则项的极限为0.
2. 调和级数发散.
3. 收敛级数满足线性运算。即乘以一个常数或者加上有限个项/一个常数，级数仍然收敛.
4. 收敛级数结合后仍然收敛，但收敛级数去掉某些括号后不一定仍然收敛.

正项级数敛散性判别法

比较判别法

若有$A={\lim }_{x=0}^{\infty }{u}_n,B={\lim }_{x=0}^{\infty }{v}_n$均为正项级数，$\exists N>0,c>0$,当$n>N,u_n\le v_n$，则：

（1）当$B$收敛时，$A$也收敛；

（2）当$A$发散时，$B$也发散.

部分和数列

对于正项级数，若部分和数列有上界，则原级数一定收敛。

柯西判别法

对于${\lim }_{x=0}^{+\infty }{u}_n$，若$\exists N>0$，当$n>N$，有$\sqrt[n]{u_n}\ge 1$，则原级数发散. 若$\sqrt[n]{u_n}\le q<1$（q为确定的常数），则原级数收敛.

比值判别法

若$\exists N>0$，当$n>N$，$\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$，则原级数发散；

若$\exists N>0$，当$n>N$，$\frac{u_{n+1}}{u_n}\le q<1$（$q$为确定常数），则原级数收敛.

交错级数敛散性判别法

Lebniz method

若交错级数${\sum }_{n=1}^{+\infty }(-1{)}^{n+1}{u}_n$满足：

（1）$u_{n+1}\le u_n$；

（2）${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0$.

则原级数收敛，且和$S\le u_1$.

任意项级数敛散性判别法

考虑绝对级数，绝对级数收敛则原级数绝对收敛，否则不为绝对收敛，但原级数也可能收敛。绝对级数不收敛而原级数收敛的级数称为条件收敛。

充分性： 绝对收敛$\Rightarrow$原级数收敛

狄利克雷判别法

（1）$u_n$单调减少且极限为0；

（2）$|{\sum }_{k=1}^n{v}_k|\le M$，$M>0$且为与$n$无关的常数.

则级数${\sum }_{n=0}^{+\infty }{u}_n{v}_n$收敛.

傅里叶级数

对任意一个函数$y=f(x)$进行傅里叶展开，

公式：
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cosnxdx,n=0,1,2...;$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinnxdx,n=1,2...$$

$$A=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$$