OpenFOAM代码——公式对照总结（持续更新）

本文总结OpenFOAM中代码语句与模型或公式的对应关系

icoFoam solver

连续性方程
$$\nabla \cdot U=0$$
动量方程
$$\frac{\partial U}{\partial t}+\nabla \cdot (UU)=-\nabla p+\nabla \cdot (\nu \nabla U)$$

fvm::ddt(U)

返回fvVectorMatrix，返回N*N的矩阵，矩阵中每个元素都是括号内的U，因此是Vector。

• 与动量方程对应关系
  $$\frac{\partial U}{\partial t}$$
• 与离散方程对应关系
  $$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{V_P}UdV\approx \frac{\partial }{\partial t}(U_P{V}_P)=a\cdot U_P^{n+1}+b\cdot U_P^n$$
  最后一个等号所得的形式取决于定义在fvSchemes中的ddtSchemes离散格式

Field和Matrix的关系是什么？Field为(N,1)的向量，其中N为网格数。Matrix顾名思义为(N,N)的矩阵。Field为待求量，我们想按照AX=B的计算格式来求解Field X，由于B同样为Field，这就要求A为Matrix or Scalar

fvm::div(phi, U)

返回fvVectorMatrix

• 与动量方程对应关系
  $$\nabla \cdot (UU)$$
• 与离散方程对应关系
  $${\int }_{V_P}\nabla \cdot (UU)dV={\int }_{\partial V_P}(UU)dS\approx \sum (UU{)}_{f}S\approx \sum F_f^n{U}_f^{n+1}=a\cdot U_P^{n+1}+\sum b_N{U}_N^{n+1}$$

因此，$\mathbf{div}(\mathbf{a},\mathbf{b})$操作对应的运算符为$\nabla \cdot (ab)$，对应的离散为$\sum (ab)$

上述离散结果返回Matrix，该矩阵对角线元素为上式中最右端项中的a
第四项到第五项的过渡取决于如何将$U_f$转化为体心值$U_P$，其离散方法定义在fvSchemes/divSchemes

fvm::laplacian(nu, U)

返回fvVectorMatrix

• 与动量方程对应关系
  $$\nabla \cdot (\nu \nabla U)$$
• 与离散方程对应关系
  $${\int }_{V_P}\nabla \cdot (\nu \nabla U)dV={\int }_{\partial V_P}(\nu \nabla U)dS\approx \sum \nu (\nabla U^{n+1}{)}_{f}S=\sum \nu \left[(\nabla U^{n+1}{)}_f\cdot \frac{S}{S_f}\right]S_f=a\cdot U_P^{n+1}+\sum b_N{U}_N^{n+1}$$
  其中$n=S/S_f$为单位矢量，$S_f$为标量，值为面积，上式第四项对应代码$\mathbf{fvm}::\mathbf{snGrad}(\mathbf{U})$

上式第四项到第五项的过渡取决于面上梯度$(\nabla U{)}_f$的离散方式，即如何将面上梯度转化为体心值，定义在fvSchemes/laplacianSchemes

fvc::grad(p)

返回scalarField，该返回类型是fvVectorMatrix的子集，执行solve(UEqn == -fvc::grad(p))时将后者做了类型强制转换

• 与动量方程对应关系
  $$\nabla p$$
• 与离散方程对应关系
  $${\int }_{V_P}\nabla pdV={\int }_{\partial V_P}pdS\approx \sum p_f^{n}S=p_P^n+\sum p_N^n$$
  fvSchemes/gradSchemes决定了如何由面上值$p_f$插值得到体心值$p_P$

solve(UEqn == -fvc::grad(p))

求解括号内以fvMatrix作为系数矩阵的AX=B，很显然UEqn为A，双等号右边为B，两者相等解出X，即U。另外，该语句没有返回值，但是会将所求解的场量更新，即更新U

fvc::flux(HbyA)

返回surfaceScalarField，其大小为内部面的个数，等于constant/polyMesh/neighbour文件中元素的个数。HbyA为volVectorField，其大小为网格数，可见该操作是将体心矢量场转变为面心标量场，由矢量转变为标量，一定是将该矢量做了点乘，因此不难分析出该语句对应的操作是
$$\mathbf{flux}[(\mathbf{HbyA}{)}_{\mathbf{P}}]=(\mathbf{HbyA}{)}_{\mathbf{f}}\cdot \mathbf{S}$$
注意，上式没有多余的符号（如求和号）。该过程涉及将体心值插值为面心值

fvc::div(phiHbyA)

由上文关于$\mathbf{div}$的分析可知，该代码对应的离散过程如下，因此可分析出其返回值类型应为scalarField
$$\mathbf{fvc}::\mathbf{div}(\mathbf{phiHbyA})=\sum (\mathbf{HbyA}{)}_{\mathbf{f}}\cdot \mathbf{S}$$

fvm::laplacian(rAU, p)

由上文分析可知，fvm的返回值类型为fvMatrix，具体为标量还是矢量取决于拉普拉斯项中的未知数类型。该代码对应的过程为
$${\int }_{V_P}\nabla \cdot \left(\frac{1}{A}\nabla p\right)dV={\int }_{\partial V_P}\left(\frac{1}{A}\nabla p\right)dS\approx \sum {\left(\frac{1}{A}\nabla p^{n+1}\right)}_{f}S=\sum \left[{\left(\frac{1}{A}\nabla p^{n+1}\right)}_f\cdot \frac{S}{S_f}\right]S_f=a\cdot p_P^{n+1}+\sum b_N{p}_N^{n+1}$$
上式右数第二项为laplacian项对应的形式，最后一项为返回值