机械臂速成小指南（二十一）：几何雅可比矩阵

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指南目录：

机械臂速成小指南（零点五）：机械臂相关资源

机械臂速成小指南（零）：指南主要内容及分析方法

机械臂速成小指南（一）：机械臂发展概况

机械臂速成小指南（二）：机械臂的应用

机械臂速成小指南（三）：机械臂的机械结构

机械臂速成小指南（四）：机械臂关键部件之减速机

机械臂速成小指南（五）：末端执行器

机械臂速成小指南（六）：步进电机驱动器

机械臂速成小指南（七）：机械臂位姿的描述方法

机械臂速成小指南（八）：运动学建模（标准DH法）

机械臂速成小指南（九）：正运动学分析

机械臂速成小指南（十）：可达工作空间

机械臂速成小指南（十一）：坐标系的标准命名

机械臂速成小指南（十二）：逆运动学分析

机械臂速成小指南（十三）：轨迹规划概述

机械臂速成小指南（十四）：多项式插值轨迹规划

机械臂速成小指南（十五）：线性规划

机械臂速成小指南（十六）：带抛物线过渡的线性规划

机械臂速成小指南（十七）：直线规划

机械臂速成小指南（十八）：圆弧规划

机械臂速成小指南（十九）：机械臂的电路板抓取实验

机械臂速成小指南（二十）：机械臂的位姿重复性实验

机械臂速成小指南（二十一）：几何雅可比矩阵

以下为正文

通过前面的章节我们已经完成了对六自由度机械臂的运动学以及轨迹规划研究，但在过程中并没有考虑到力对机械臂的作用，也并没有考虑机械臂各关节以及末端执行器的运行速度，所以控制精度并不高。

在后续的几个章节中，我们开始研究机械臂的微分运动学及其静力学，并在最后，阐明建立在速度和力可操纵性椭球（manipulability ellipsoid）定义基础之上的运动静力学二元性的概念。

我们研究微分运动学的目的便是找到关节速度与末端执行器的角、线速度之间的映射关系，而几何雅可比矩阵（Geometric Jacobianmatrix）便是用于描述这种映射关系的矩阵。

一、概述及回顾

根据前面的章节我们不难得出n自由度机械臂的正运动学方程为：

其中，q是1×n的关节变量向量。

微分运动学的目的，是寻找关节速度与末端执行器线速度和角速度之间的关系，也就是将末端执行器的线、角速度表示为一个关节速度的函数。

首先说明变量含义：

我们将末端执行器的线、角速度与关节变量之间的线性关系表示为：

紧凑形式可表示为：

式1.2即为机械臂的微分运动学方程，其中的6×n矩阵J即为机械臂的几何雅可比矩阵：