不定积分24个基本公式_三角函数、双曲函数各种恒等式、以及部分不定积分骚操作...

我个人是个记忆力超差的人，从高中到大学，一直记不住这些公式。特此写这篇文章，当做工具书，忘了就直接查这篇文章就OK了（偷懒大法）。

以下根据我个人的需求，删去了部分对我没用的公式。

命名预声明：

以下简记，arcosh为arch，arsinh为arsh，artanh为arth

1、反双曲定义

2、双曲半角公式、倍角公式

3、三角和差化积、积化和差

自创口诀：（乘积）同可异赛，赛赛为负。

推导方式：积化和差展开等号右面即可，和差化积借助恒等式

，

展开等号左面即可。

注：可=cos，赛=sin，往往积化和差在不定积分用得多些。

4、应用上述1/2/3进行不定积分计算。

（以下推导并不严谨，因为为了简洁，忽略了定义域，仅用于辅助理解，望读者注意）

（偷个懒，不写常数项+C了）

①

②

③三角函数系的正交性

考虑到a≠b时：

显然，当a≠b时，在公周期内积分为0，若a=b，周期积分相当于对0.5积分。

5、常用积分

①

其中n为偶数为时，K=π/2，否则K为1。

约定0!!=1!!=1。

②

就这样吧，等有新需求再加新功能吧。

---

更新：

抄点有趣的不定积分题吧，依然偷懒省略常数项+C。

1、

剩下的留给读者完成。

注：简记分部积分integration by parts为part_int，twice指执行两次。

2、

对原函数封闭，其中Pn(x)、Qn(x)指n次多项式。

三角函数系的正交性（定积分）。

3、

4、

剩下的留给读者完成。

5、

法一：

考虑到：

这启发我们：

剩下的留给读者完成。

法二：

我们知道：有理函数积分总是可以初等进行的，只需拆解为一次多项式、二次多项式的乘积再配凑即可。

考虑到代数基本定理，显然

有两对共轭复数根，并由其几何意义，显然为

。

故两两共轭配对，得到

。

这样我们就将分母拆解为了低次多项式的组合了。

6、骚操作时间

这个积分并没有特别好的通法解决，但特别地：

当n=3时，有

当n=4时，有

7、求求你别锈了

剩下的留给读者完成。

8、大家一起凑微分

剩下的留给读者完成。

9、继续凑微分

10、以及凑分部积分

11、继续凑分部积分

---

突然想起来了两个不定积分，补充下：

12、

剩下的留给读者完成。

当时我做这道题被我的直觉坑了一把，第一反应

，思路就被凑微分带偏了，在错误的道路越走越远。特此留存。